Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54804 / 11724
↖ ↑ ↗
← N 81.329877°
W 29.476319°		 ← 46.04 m → N 81.329877°
W 29.473572°		 →
↑
46.06 m
↓
↑
46.06 m
↓
N 81.329463°
W 29.476319°		 ← 46.04 m →
2 121 m²		 N 81.329463°
W 29.473572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418125152587891 y=0.0894508361816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418125152587891 × 217)
    floor (0.418125152587891 × 131072)
    floor (54804.5)     		tx = 54804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0894508361816406 × 217)
    floor (0.0894508361816406 × 131072)
    floor (11724.5)     		ty = 11724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54804 / 11724 ti = "17/54804/11724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54804/11724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54804 ÷ 217
    54804 ÷ 131072     		x = 0.418121337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11724 ÷ 217
    11724 ÷ 131072     		y = 0.089447021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418121337890625 × 2 - 1) × π
    -0.16375732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51445881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.089447021484375 × 2 - 1) × π
    0.82110595703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.57958044235446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51445881} λ = -0.51445881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57958044235446))-π/2
    2×atan(13.1916023608188)-π/2
    2×1.49513523243674-π/2
    2.99027046487349-1.57079632675     		φ = 1.41947414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51445881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.476319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41947414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.329877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54804 KachelY 11724 -0.51445881 1.41947414 -29.476319 81.329877
    Oben rechts KachelX + 1 54805 KachelY 11724 -0.51441087 1.41947414 -29.473572 81.329877
    Unten links KachelX 54804 KachelY + 1 11725 -0.51445881 1.41946691 -29.476319 81.329463
    Unten rechts KachelX + 1 54805 KachelY + 1 11725 -0.51441087 1.41946691 -29.473572 81.329463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41947414-1.41946691) × R
    7.23000000002472e-06 × 6371000     		dl = 46.0623300001575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41947414-1.41946691) × R
    7.23000000002472e-06 × 6371000     		dr = 46.0623300001575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51445881--0.51441087) × cos(1.41947414) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.150745341532909 × 6371000     		do = 46.0415074893178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51445881--0.51441087) × cos(1.41946691) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.150752488909073 × 6371000     		du = 46.043690481972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41947414)-sin(1.41946691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150745341532909-0.150752488909073)×R²
    abs(-0.51441087--0.51445881)×7.14737616475114e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.14737616475114e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.14737616475114e-06×40589641000000     		ar = 2120.829388601m²