Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54803 / 14957
↖ ↑ ↗
← N 79.883467°
W 29.479065°		 ← 53.64 m → N 79.883467°
W 29.476319°		 →
↑
53.64 m
↓
↑
53.64 m
↓
N 79.882985°
W 29.479065°		 ← 53.64 m →
2 877 m²		 N 79.882985°
W 29.476319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418117523193359 y=0.114116668701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418117523193359 × 217)
    floor (0.418117523193359 × 131072)
    floor (54803.5)     		tx = 54803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114116668701172 × 217)
    floor (0.114116668701172 × 131072)
    floor (14957.5)     		ty = 14957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54803 / 14957 ti = "17/54803/14957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54803/14957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54803 ÷ 217
    54803 ÷ 131072     		x = 0.418113708496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14957 ÷ 217
    14957 ÷ 131072     		y = 0.114112854003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418113708496094 × 2 - 1) × π
    -0.163772583007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.51450674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114112854003906 × 2 - 1) × π
    0.771774291992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.42460044588282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51450674} λ = -0.51450674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42460044588282))-π/2
    2×atan(11.2977144690253)-π/2
    2×1.48251292527178-π/2
    2.96502585054357-1.57079632675     		φ = 1.39422952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51450674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.479065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39422952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.883467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54803 KachelY 14957 -0.51450674 1.39422952 -29.479065 79.883467
    Oben rechts KachelX + 1 54804 KachelY 14957 -0.51445881 1.39422952 -29.476319 79.883467
    Unten links KachelX 54803 KachelY + 1 14958 -0.51450674 1.39422110 -29.479065 79.882985
    Unten rechts KachelX + 1 54804 KachelY + 1 14958 -0.51445881 1.39422110 -29.476319 79.882985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39422952-1.39422110) × R
    8.42000000012e-06 × 6371000     		dl = 53.6438200007645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39422952-1.39422110) × R
    8.42000000012e-06 × 6371000     		dr = 53.6438200007645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51450674--0.51445881) × cos(1.39422952) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.175650799487047 × 6371000     		do = 53.6370847023964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51450674--0.51445881) × cos(1.39422110) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.175659088571178 × 6371000     		du = 53.6396158739534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39422952)-sin(1.39422110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175650799487047-0.175659088571178)×R²
    abs(-0.51445881--0.51450674)×8.28908413091911e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.28908413091911e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.28908413091911e-06×40589641000000     		ar = 2877.36600804133m²