Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54803 / 13597
↖ ↑ ↗
← N 80.518960°
W 29.479065°		 ← 50.30 m → N 80.518960°
W 29.476319°		 →
↑
50.33 m
↓
↑
50.33 m
↓
N 80.518507°
W 29.479065°		 ← 50.30 m →
2 532 m²		 N 80.518507°
W 29.476319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418117523193359 y=0.103740692138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418117523193359 × 217)
    floor (0.418117523193359 × 131072)
    floor (54803.5)     		tx = 54803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103740692138672 × 217)
    floor (0.103740692138672 × 131072)
    floor (13597.5)     		ty = 13597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54803 / 13597 ti = "17/54803/13597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54803/13597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54803 ÷ 217
    54803 ÷ 131072     		x = 0.418113708496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13597 ÷ 217
    13597 ÷ 131072     		y = 0.103736877441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418113708496094 × 2 - 1) × π
    -0.163772583007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.51450674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103736877441406 × 2 - 1) × π
    0.792526245117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.4897946293661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51450674} λ = -0.51450674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4897946293661))-π/2
    2×atan(12.0587993428596)-π/2
    2×1.48805864386305-π/2
    2.9761172877261-1.57079632675     		φ = 1.40532096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51450674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.479065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40532096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.518960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54803 KachelY 13597 -0.51450674 1.40532096 -29.479065 80.518960
    Oben rechts KachelX + 1 54804 KachelY 13597 -0.51445881 1.40532096 -29.476319 80.518960
    Unten links KachelX 54803 KachelY + 1 13598 -0.51450674 1.40531306 -29.479065 80.518507
    Unten rechts KachelX + 1 54804 KachelY + 1 13598 -0.51445881 1.40531306 -29.476319 80.518507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40532096-1.40531306) × R
    7.90000000017166e-06 × 6371000     		dl = 50.3309000010936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40532096-1.40531306) × R
    7.90000000017166e-06 × 6371000     		dr = 50.3309000010936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51450674--0.51445881) × cos(1.40532096) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.164721222946485 × 6371000     		do = 50.2996070229355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51450674--0.51445881) × cos(1.40531306) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.164729015028639 × 6371000     		du = 50.3019864289599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40532096)-sin(1.40531306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164721222946485-0.164729015028639)×R²
    abs(-0.51445881--0.51450674)×7.79208215392901e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.79208215392901e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.79208215392901e-06×40589641000000     		ar = 2531.68436994331m²