Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54802 / 43118
↖ ↑ ↗
← N 52.298402°
W 29.481811°		 ← 186.78 m → N 52.298402°
W 29.479065°		 →
↑
186.73 m
↓
↑
186.73 m
↓
N 52.296722°
W 29.481811°		 ← 186.79 m →
34 879 m²		 N 52.296722°
W 29.479065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418109893798828 y=0.328968048095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418109893798828 × 217)
    floor (0.418109893798828 × 131072)
    floor (54802.5)     		tx = 54802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328968048095703 × 217)
    floor (0.328968048095703 × 131072)
    floor (43118.5)     		ty = 43118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54802 / 43118 ti = "17/54802/43118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54802/43118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54802 ÷ 217
    54802 ÷ 131072     		x = 0.418106079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43118 ÷ 217
    43118 ÷ 131072     		y = 0.328964233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418106079101562 × 2 - 1) × π
    -0.163787841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51455468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328964233398438 × 2 - 1) × π
    0.342071533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.07464941568242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51455468} λ = -0.51455468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07464941568242))-π/2
    2×atan(2.92896587101289)-π/2
    2×1.24178781543571-π/2
    2.48357563087143-1.57079632675     		φ = 0.91277930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51455468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.481811°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91277930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.298402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54802 KachelY 43118 -0.51455468 0.91277930 -29.481811 52.298402
    Oben rechts KachelX + 1 54803 KachelY 43118 -0.51450674 0.91277930 -29.479065 52.298402
    Unten links KachelX 54802 KachelY + 1 43119 -0.51455468 0.91274999 -29.481811 52.296722
    Unten rechts KachelX + 1 54803 KachelY + 1 43119 -0.51450674 0.91274999 -29.479065 52.296722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91277930-0.91274999) × R
    2.93099999999491e-05 × 6371000     		dl = 186.734009999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91277930-0.91274999) × R
    2.93099999999491e-05 × 6371000     		dr = 186.734009999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51455468--0.51450674) × cos(0.91277930) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.61154911412943 × 6371000     		do = 186.782840729636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51455468--0.51450674) × cos(0.91274999) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.611572304128431 × 6371000     		du = 186.789923552241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91277930)-sin(0.91274999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61154911412943-0.611572304128431)×R²
    abs(-0.51450674--0.51455468)×2.31899990013051e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.31899990013051e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.31899990013051e-05×40589641000000     		ar = 34879.370152938m²