Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54802 / 11738
↖ ↑ ↗
← N 81.324079°
W 29.481811°		 ← 46.07 m → N 81.324079°
W 29.479065°		 →
↑
46.06 m
↓
↑
46.06 m
↓
N 81.323665°
W 29.481811°		 ← 46.07 m →
2 122 m²		 N 81.323665°
W 29.479065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418109893798828 y=0.0895576477050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418109893798828 × 217)
    floor (0.418109893798828 × 131072)
    floor (54802.5)     		tx = 54802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0895576477050781 × 217)
    floor (0.0895576477050781 × 131072)
    floor (11738.5)     		ty = 11738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54802 / 11738 ti = "17/54802/11738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54802/11738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54802 ÷ 217
    54802 ÷ 131072     		x = 0.418106079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11738 ÷ 217
    11738 ÷ 131072     		y = 0.0895538330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418106079101562 × 2 - 1) × π
    -0.163787841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51455468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0895538330078125 × 2 - 1) × π
    0.820892333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.57890932575978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51455468} λ = -0.51455468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57890932575978))-π/2
    2×atan(13.1827522276318)-π/2
    2×1.49508463180248-π/2
    2.99016926360496-1.57079632675     		φ = 1.41937294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51455468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.481811°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41937294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.324079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54802 KachelY 11738 -0.51455468 1.41937294 -29.481811 81.324079
    Oben rechts KachelX + 1 54803 KachelY 11738 -0.51450674 1.41937294 -29.479065 81.324079
    Unten links KachelX 54802 KachelY + 1 11739 -0.51455468 1.41936571 -29.481811 81.323665
    Unten rechts KachelX + 1 54803 KachelY + 1 11739 -0.51450674 1.41936571 -29.479065 81.323665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41937294-1.41936571) × R
    7.23000000002472e-06 × 6371000     		dl = 46.0623300001575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41937294-1.41936571) × R
    7.23000000002472e-06 × 6371000     		dr = 46.0623300001575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51455468--0.51450674) × cos(1.41937294) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.150845384310827 × 6371000     		do = 46.0720631287952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51455468--0.51450674) × cos(1.41936571) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.150852531576656 × 6371000     		du = 46.07424608775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41937294)-sin(1.41936571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150845384310827-0.150852531576656)×R²
    abs(-0.51450674--0.51455468)×7.14726582878855e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.14726582878855e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.14726582878855e-06×40589641000000     		ar = 2122.23685171889m²