Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54801 / 14959
↖ ↑ ↗
← N 79.882502°
W 29.484558°		 ← 53.65 m → N 79.882502°
W 29.481811°		 →
↑
53.64 m
↓
↑
53.64 m
↓
N 79.882020°
W 29.484558°		 ← 53.66 m →
2 878 m²		 N 79.882020°
W 29.481811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418102264404297 y=0.114131927490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418102264404297 × 217)
    floor (0.418102264404297 × 131072)
    floor (54801.5)     		tx = 54801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114131927490234 × 217)
    floor (0.114131927490234 × 131072)
    floor (14959.5)     		ty = 14959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54801 / 14959 ti = "17/54801/14959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54801/14959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54801 ÷ 217
    54801 ÷ 131072     		x = 0.418098449707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14959 ÷ 217
    14959 ÷ 131072     		y = 0.114128112792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418098449707031 × 2 - 1) × π
    -0.163803100585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.51460262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114128112792969 × 2 - 1) × π
    0.771743774414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.42450457208358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51460262} λ = -0.51460262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42450457208358))-π/2
    2×atan(11.2966313661379)-π/2
    2×1.48250450471984-π/2
    2.96500900943969-1.57079632675     		φ = 1.39421268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51460262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.484558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39421268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.882502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54801 KachelY 14959 -0.51460262 1.39421268 -29.484558 79.882502
    Oben rechts KachelX + 1 54802 KachelY 14959 -0.51455468 1.39421268 -29.481811 79.882502
    Unten links KachelX 54801 KachelY + 1 14960 -0.51460262 1.39420426 -29.484558 79.882020
    Unten rechts KachelX + 1 54802 KachelY + 1 14960 -0.51455468 1.39420426 -29.481811 79.882020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39421268-1.39420426) × R
    8.42000000012e-06 × 6371000     		dl = 53.6438200007645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39421268-1.39420426) × R
    8.42000000012e-06 × 6371000     		dr = 53.6438200007645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51460262--0.51455468) × cos(1.39421268) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175667377642855 × 6371000     		do = 53.6533388103934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51460262--0.51455468) × cos(1.39420426) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175675666702079 × 6371000     		du = 53.6558705024405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39421268)-sin(1.39420426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175667377642855-0.175675666702079)×R²
    abs(-0.51455468--0.51460262)×8.28905922314882e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.28905922314882e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.28905922314882e-06×40589641000000     		ar = 2878.23795430885m²