Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54800 / 18773
↖ ↑ ↗
← N 77.866696°
W 29.487304°		 ← 64.18 m → N 77.866696°
W 29.484558°		 →
↑
64.16 m
↓
↑
64.16 m
↓
N 77.866119°
W 29.487304°		 ← 64.19 m →
4 118 m²		 N 77.866119°
W 29.484558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418094635009766 y=0.143230438232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418094635009766 × 217)
    floor (0.418094635009766 × 131072)
    floor (54800.5)     		tx = 54800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143230438232422 × 217)
    floor (0.143230438232422 × 131072)
    floor (18773.5)     		ty = 18773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54800 / 18773 ti = "17/54800/18773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54800/18773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54800 ÷ 217
    54800 ÷ 131072     		x = 0.4180908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18773 ÷ 217
    18773 ÷ 131072     		y = 0.143226623535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4180908203125 × 2 - 1) × π
    -0.163818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51465055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143226623535156 × 2 - 1) × π
    0.713546752929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.24167323693269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51465055} λ = -0.51465055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24167323693269))-π/2
    2×atan(9.4090617129683)-π/2
    2×1.46491327904836-π/2
    2.92982655809673-1.57079632675     		φ = 1.35903023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51465055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.487304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35903023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.866696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54800 KachelY 18773 -0.51465055 1.35903023 -29.487304 77.866696
    Oben rechts KachelX + 1 54801 KachelY 18773 -0.51460262 1.35903023 -29.484558 77.866696
    Unten links KachelX 54800 KachelY + 1 18774 -0.51465055 1.35902016 -29.487304 77.866119
    Unten rechts KachelX + 1 54801 KachelY + 1 18774 -0.51460262 1.35902016 -29.484558 77.866119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35903023-1.35902016) × R
    1.00699999998621e-05 × 6371000     		dl = 64.1559699991217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35903023-1.35902016) × R
    1.00699999998621e-05 × 6371000     		dr = 64.1559699991217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51465055--0.51460262) × cos(1.35903023) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.210186871108637 × 6371000     		do = 64.183089641121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51465055--0.51460262) × cos(1.35902016) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.210196716146558 × 6371000     		du = 64.1860959418861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35903023)-sin(1.35902016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210186871108637-0.210196716146558)×R²
    abs(-0.51460262--0.51465055)×9.84503792145208e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.84503792145208e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.84503792145208e-06×40589641000000     		ar = 4117.8248094134m²