Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5480 / 2346
↖ ↑ ↗
← N 82.246892°
W119.794922°		 ← 164.80 m → N 82.246892°
W119.783936°		 →
↑
164.82 m
↓
↑
164.82 m
↓
N 82.245409°
W119.794922°		 ← 164.83 m →
27 164 m²		 N 82.245409°
W119.783936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167251586914062 y=0.0716094970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167251586914062 × 215)
    floor (0.167251586914062 × 32768)
    floor (5480.5)     		tx = 5480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0716094970703125 × 215)
    floor (0.0716094970703125 × 32768)
    floor (2346.5)     		ty = 2346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5480 / 2346 ti = "15/5480/2346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5480/2346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5480 ÷ 215
    5480 ÷ 32768     		x = 0.167236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2346 ÷ 215
    2346 ÷ 32768     		y = 0.07159423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.167236328125 × 2 - 1) × π
    -0.66552734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.09081581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07159423828125 × 2 - 1) × π
    0.8568115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.69175278746539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09081581} λ = -2.09081581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69175278746539))-π/2
    2×atan(14.7575200603657)-π/2
    2×1.50313769355865-π/2
    3.0062753871173-1.57079632675     		φ = 1.43547906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09081581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.794922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43547906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.246892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5480 KachelY 2346 -2.09081581 1.43547906 -119.794922 82.246892
    Oben rechts KachelX + 1 5481 KachelY 2346 -2.09062407 1.43547906 -119.783936 82.246892
    Unten links KachelX 5480 KachelY + 1 2347 -2.09081581 1.43545319 -119.794922 82.245409
    Unten rechts KachelX + 1 5481 KachelY + 1 2347 -2.09062407 1.43545319 -119.783936 82.245409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43547906-1.43545319) × R
    2.58699999999834e-05 × 6371000     		dl = 164.817769999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43547906-1.43545319) × R
    2.58699999999834e-05 × 6371000     		dr = 164.817769999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09081581--2.09062407) × cos(1.43547906) × R
    0.000191739999999996 × 0.134904684317674 × 6371000     		do = 164.796262593888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09081581--2.09062407) × cos(1.43545319) × R
    0.000191739999999996 × 0.134930317784 × 6371000     		du = 164.827575809358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43547906)-sin(1.43545319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134904684317674-0.134930317784)×R²
    abs(-2.09062407--2.09081581)×2.56334663265023e-05×R²
    0.000191739999999996×2.56334663265023e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.56334663265023e-05×40589641000000     		ar = 27163.9329940524m²