Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5480 / 2342
↖ ↑ ↗
← N 82.252818°
W119.794922°		 ← 164.67 m → N 82.252818°
W119.783936°		 →
↑
164.69 m
↓
↑
164.69 m
↓
N 82.251337°
W119.794922°		 ← 164.70 m →
27 122 m²		 N 82.251337°
W119.783936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167251586914062 y=0.0714874267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167251586914062 × 215)
    floor (0.167251586914062 × 32768)
    floor (5480.5)     		tx = 5480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0714874267578125 × 215)
    floor (0.0714874267578125 × 32768)
    floor (2342.5)     		ty = 2342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5480 / 2342 ti = "15/5480/2342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5480/2342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5480 ÷ 215
    5480 ÷ 32768     		x = 0.167236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2342 ÷ 215
    2342 ÷ 32768     		y = 0.07147216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.167236328125 × 2 - 1) × π
    -0.66552734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.09081581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07147216796875 × 2 - 1) × π
    0.8570556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.69251977785931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09081581} λ = -2.09081581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69251977785931))-π/2
    2×atan(14.7688432783348)-π/2
    2×1.50318940920303-π/2
    3.00637881840606-1.57079632675     		φ = 1.43558249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09081581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.794922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43558249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.252818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5480 KachelY 2342 -2.09081581 1.43558249 -119.794922 82.252818
    Oben rechts KachelX + 1 5481 KachelY 2342 -2.09062407 1.43558249 -119.783936 82.252818
    Unten links KachelX 5480 KachelY + 1 2343 -2.09081581 1.43555664 -119.794922 82.251337
    Unten rechts KachelX + 1 5481 KachelY + 1 2343 -2.09062407 1.43555664 -119.783936 82.251337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43558249-1.43555664) × R
    2.5850000000105e-05 × 6371000     		dl = 164.690350000669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43558249-1.43555664) × R
    2.5850000000105e-05 × 6371000     		dr = 164.690350000669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09081581--2.09062407) × cos(1.43558249) × R
    0.000191739999999996 × 0.134802199093307 × 6371000     		do = 164.67106915059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09081581--2.09062407) × cos(1.43555664) × R
    0.000191739999999996 × 0.134827813103119 × 6371000     		du = 164.702358598458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43558249)-sin(1.43555664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134802199093307-0.134827813103119)×R²
    abs(-2.09062407--2.09081581)×2.56140098119917e-05×R²
    0.000191739999999996×2.56140098119917e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.56140098119917e-05×40589641000000     		ar = 27122.3125496581m²