Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54799 / 85457
↖ ↑ ↗
← S 47.903455°
W 29.490051°		 ← 204.75 m → S 47.903455°
W 29.487304°		 →
↑
204.76 m
↓
↑
204.76 m
↓
S 47.905296°
W 29.490051°		 ← 204.74 m →
41 925 m²		 S 47.905296°
W 29.487304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418087005615234 y=0.651988983154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418087005615234 × 217)
    floor (0.418087005615234 × 131072)
    floor (54799.5)     		tx = 54799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651988983154297 × 217)
    floor (0.651988983154297 × 131072)
    floor (85457.5)     		ty = 85457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54799 / 85457 ti = "17/54799/85457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54799/85457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54799 ÷ 217
    54799 ÷ 131072     		x = 0.418083190917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85457 ÷ 217
    85457 ÷ 131072     		y = 0.651985168457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418083190917969 × 2 - 1) × π
    -0.163833618164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.51469849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651985168457031 × 2 - 1) × π
    -0.303970336914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.954950977331139
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51469849} λ = -0.51469849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.954950977331139))-π/2
    2×atan(0.384831009533717)-π/2
    2×0.367361658448585-π/2
    0.734723316897171-1.57079632675     		φ = -0.83607301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51469849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.490051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83607301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.903455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54799 KachelY 85457 -0.51469849 -0.83607301 -29.490051 -47.903455
    Oben rechts KachelX + 1 54800 KachelY 85457 -0.51465055 -0.83607301 -29.487304 -47.903455
    Unten links KachelX 54799 KachelY + 1 85458 -0.51469849 -0.83610515 -29.490051 -47.905296
    Unten rechts KachelX + 1 54800 KachelY + 1 85458 -0.51465055 -0.83610515 -29.487304 -47.905296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83607301--0.83610515) × R
    3.21399999999583e-05 × 6371000     		dl = 204.763939999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83607301--0.83610515) × R
    3.21399999999583e-05 × 6371000     		dr = 204.763939999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51469849--0.51465055) × cos(-0.83607301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.670381877862098 × 6371000     		do = 204.751881128487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51469849--0.51465055) × cos(-0.83610515) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.670358029113093 × 6371000     		du = 204.744597106674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83607301)-sin(-0.83610515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670381877862098-0.670358029113093)×R²
    abs(-0.51465055--0.51469849)×2.38487490050732e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38487490050732e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38487490050732e-05×40589641000000     		ar = 41925.0561534723m²