Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54798 / 15058
↖ ↑ ↗
← N 79.834625°
W 29.492798°		 ← 53.90 m → N 79.834625°
W 29.490051°		 →
↑
53.90 m
↓
↑
53.90 m
↓
N 79.834140°
W 29.492798°		 ← 53.91 m →
2 905 m²		 N 79.834140°
W 29.490051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418079376220703 y=0.114887237548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418079376220703 × 217)
    floor (0.418079376220703 × 131072)
    floor (54798.5)     		tx = 54798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114887237548828 × 217)
    floor (0.114887237548828 × 131072)
    floor (15058.5)     		ty = 15058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54798 / 15058 ti = "17/54798/15058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54798/15058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54798 ÷ 217
    54798 ÷ 131072     		x = 0.418075561523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15058 ÷ 217
    15058 ÷ 131072     		y = 0.114883422851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418075561523438 × 2 - 1) × π
    -0.163848876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51474643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114883422851562 × 2 - 1) × π
    0.770233154296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41975881902119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51474643} λ = -0.51474643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41975881902119))-π/2
    2×atan(11.2431473545745)-π/2
    2×1.48208669253697-π/2
    2.96417338507393-1.57079632675     		φ = 1.39337706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51474643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.492798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39337706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.834625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54798 KachelY 15058 -0.51474643 1.39337706 -29.492798 79.834625
    Oben rechts KachelX + 1 54799 KachelY 15058 -0.51469849 1.39337706 -29.490051 79.834625
    Unten links KachelX 54798 KachelY + 1 15059 -0.51474643 1.39336860 -29.492798 79.834140
    Unten rechts KachelX + 1 54799 KachelY + 1 15059 -0.51469849 1.39336860 -29.490051 79.834140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39337706-1.39336860) × R
    8.4599999998769e-06 × 6371000     		dl = 53.8986599992157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39337706-1.39336860) × R
    8.4599999998769e-06 × 6371000     		dr = 53.8986599992157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51474643--0.51469849) × cos(1.39337706) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176489941973015 × 6371000     		do = 53.9045711296299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51474643--0.51469849) × cos(1.39336860) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176498269165372 × 6371000     		du = 53.9071144685175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39337706)-sin(1.39336860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176489941973015-0.176498269165372)×R²
    abs(-0.51469849--0.51474643)×8.32719235638324e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.32719235638324e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.32719235638324e-06×40589641000000     		ar = 2905.45269299304m²