Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54797 / 13604
↖ ↑ ↗
← N 80.515793°
W 29.495545°		 ← 50.33 m → N 80.515793°
W 29.492798°		 →
↑
50.33 m
↓
↑
50.33 m
↓
N 80.515340°
W 29.495545°		 ← 50.33 m →
2 533 m²		 N 80.515340°
W 29.492798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418071746826172 y=0.103794097900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418071746826172 × 217)
    floor (0.418071746826172 × 131072)
    floor (54797.5)     		tx = 54797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103794097900391 × 217)
    floor (0.103794097900391 × 131072)
    floor (13604.5)     		ty = 13604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54797 / 13604 ti = "17/54797/13604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54797/13604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54797 ÷ 217
    54797 ÷ 131072     		x = 0.418067932128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13604 ÷ 217
    13604 ÷ 131072     		y = 0.103790283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418067932128906 × 2 - 1) × π
    -0.163864135742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.51479437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103790283203125 × 2 - 1) × π
    0.79241943359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48945907106876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51479437} λ = -0.51479437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48945907106876))-π/2
    2×atan(12.0547535915148)-π/2
    2×1.48803100250262-π/2
    2.97606200500524-1.57079632675     		φ = 1.40526568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51479437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.495545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40526568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.515793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54797 KachelY 13604 -0.51479437 1.40526568 -29.495545 80.515793
    Oben rechts KachelX + 1 54798 KachelY 13604 -0.51474643 1.40526568 -29.492798 80.515793
    Unten links KachelX 54797 KachelY + 1 13605 -0.51479437 1.40525778 -29.495545 80.515340
    Unten rechts KachelX + 1 54798 KachelY + 1 13605 -0.51474643 1.40525778 -29.492798 80.515340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40526568-1.40525778) × R
    7.90000000017166e-06 × 6371000     		dl = 50.3309000010936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40526568-1.40525778) × R
    7.90000000017166e-06 × 6371000     		dr = 50.3309000010936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51479437--0.51474643) × cos(1.40526568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164775747579027 × 6371000     		do = 50.3267546383447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51479437--0.51474643) × cos(1.40525778) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164783539589232 × 6371000     		du = 50.3291345188275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40526568)-sin(1.40525778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164775747579027-0.164783539589232)×R²
    abs(-0.51474643--0.51479437)×7.79201020459364e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.79201020459364e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.79201020459364e-06×40589641000000     		ar = 2533.0507458312m²