Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54793 / 14937
↖ ↑ ↗
← N 79.893112°
W 29.506531°		 ← 53.59 m → N 79.893112°
W 29.503784°		 →
↑
53.58 m
↓
↑
53.58 m
↓
N 79.892630°
W 29.506531°		 ← 53.59 m →
2 871 m²		 N 79.892630°
W 29.503784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418041229248047 y=0.113964080810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418041229248047 × 217)
    floor (0.418041229248047 × 131072)
    floor (54793.5)     		tx = 54793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113964080810547 × 217)
    floor (0.113964080810547 × 131072)
    floor (14937.5)     		ty = 14937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54793 / 14937 ti = "17/54793/14937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54793/14937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54793 ÷ 217
    54793 ÷ 131072     		x = 0.418037414550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14937 ÷ 217
    14937 ÷ 131072     		y = 0.113960266113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418037414550781 × 2 - 1) × π
    -0.163925170898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.51498611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113960266113281 × 2 - 1) × π
    0.772079467773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.42555918387522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51498611} λ = -0.51498611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42555918387522))-π/2
    2×atan(11.3085512110822)-π/2
    2×1.48259708709349-π/2
    2.96519417418698-1.57079632675     		φ = 1.39439785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51498611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.506531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39439785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.893112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54793 KachelY 14937 -0.51498611 1.39439785 -29.506531 79.893112
    Oben rechts KachelX + 1 54794 KachelY 14937 -0.51493818 1.39439785 -29.503784 79.893112
    Unten links KachelX 54793 KachelY + 1 14938 -0.51498611 1.39438944 -29.506531 79.892630
    Unten rechts KachelX + 1 54794 KachelY + 1 14938 -0.51493818 1.39438944 -29.503784 79.892630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39439785-1.39438944) × R
    8.40999999995873e-06 × 6371000     		dl = 53.5801099997371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39439785-1.39438944) × R
    8.40999999995873e-06 × 6371000     		dr = 53.5801099997371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51498611--0.51493818) × cos(1.39439785) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.175485084103828 × 6371000     		do = 53.5864815166984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51498611--0.51493818) × cos(1.39438944) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.175493363591997 × 6371000     		du = 53.5890097580132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39439785)-sin(1.39438944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175485084103828-0.175493363591997)×R²
    abs(-0.51493818--0.51498611)×8.27948816972679e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.27948816972679e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.27948816972679e-06×40589641000000     		ar = 2871.23730598152m²