Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5479 / 2343
↖ ↑ ↗
← N 82.251337°
W119.805908°		 ← 164.71 m → N 82.251337°
W119.794922°		 →
↑
164.69 m
↓
↑
164.69 m
↓
N 82.249856°
W119.805908°		 ← 164.74 m →
27 129 m²		 N 82.249856°
W119.794922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167221069335938 y=0.0715179443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167221069335938 × 215)
    floor (0.167221069335938 × 32768)
    floor (5479.5)     		tx = 5479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0715179443359375 × 215)
    floor (0.0715179443359375 × 32768)
    floor (2343.5)     		ty = 2343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5479 / 2343 ti = "15/5479/2343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5479/2343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5479 ÷ 215
    5479 ÷ 32768     		x = 0.167205810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2343 ÷ 215
    2343 ÷ 32768     		y = 0.071502685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.167205810546875 × 2 - 1) × π
    -0.66558837890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.09100756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.071502685546875 × 2 - 1) × π
    0.85699462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.69232803026083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09100756} λ = -2.09100756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69232803026083))-π/2
    2×atan(14.7660116595905)-π/2
    2×1.50317648397637-π/2
    3.00635296795274-1.57079632675     		φ = 1.43555664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09100756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.805908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43555664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.251337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5479 KachelY 2343 -2.09100756 1.43555664 -119.805908 82.251337
    Oben rechts KachelX + 1 5480 KachelY 2343 -2.09081581 1.43555664 -119.794922 82.251337
    Unten links KachelX 5479 KachelY + 1 2344 -2.09100756 1.43553079 -119.805908 82.249856
    Unten rechts KachelX + 1 5480 KachelY + 1 2344 -2.09081581 1.43553079 -119.794922 82.249856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43555664-1.43553079) × R
    2.58499999998829e-05 × 6371000     		dl = 164.690349999254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43555664-1.43553079) × R
    2.58499999998829e-05 × 6371000     		dr = 164.690349999254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09100756--2.09081581) × cos(1.43555664) × R
    0.000191749999999935 × 0.134827813103119 × 6371000     		do = 164.710948478379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09100756--2.09081581) × cos(1.43553079) × R
    0.000191749999999935 × 0.134853427022836 × 6371000     		du = 164.742239448051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43555664)-sin(1.43553079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134827813103119-0.134853427022836)×R²
    abs(-2.09081581--2.09100756)×2.56139197168104e-05×R²
    0.000191749999999935×2.56139197168104e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.56139197168104e-05×40589641000000     		ar = 27128.8804156991m²