Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54788 / 14980
↖ ↑ ↗
← N 79.872366°
W 29.520264°		 ← 53.71 m → N 79.872366°
W 29.517517°		 →
↑
53.71 m
↓
↑
53.71 m
↓
N 79.871883°
W 29.520264°		 ← 53.71 m →
2 885 m²		 N 79.871883°
W 29.517517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418003082275391 y=0.114292144775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418003082275391 × 217)
    floor (0.418003082275391 × 131072)
    floor (54788.5)     		tx = 54788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114292144775391 × 217)
    floor (0.114292144775391 × 131072)
    floor (14980.5)     		ty = 14980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54788 / 14980 ti = "17/54788/14980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54788/14980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54788 ÷ 217
    54788 ÷ 131072     		x = 0.417999267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14980 ÷ 217
    14980 ÷ 131072     		y = 0.114288330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417999267578125 × 2 - 1) × π
    -0.16400146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51522580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114288330078125 × 2 - 1) × π
    0.77142333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42349789719156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51522580} λ = -0.51522580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42349789719156))-π/2
    2×atan(11.2852650530281)-π/2
    2×1.48241604092492-π/2
    2.96483208184984-1.57079632675     		φ = 1.39403576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51522580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.520264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39403576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.872366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54788 KachelY 14980 -0.51522580 1.39403576 -29.520264 79.872366
    Oben rechts KachelX + 1 54789 KachelY 14980 -0.51517786 1.39403576 -29.517517 79.872366
    Unten links KachelX 54788 KachelY + 1 14981 -0.51522580 1.39402733 -29.520264 79.871883
    Unten rechts KachelX + 1 54789 KachelY + 1 14981 -0.51517786 1.39402733 -29.517517 79.871883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39403576-1.39402733) × R
    8.43000000005922e-06 × 6371000     		dl = 53.7075300003773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39403576-1.39402733) × R
    8.43000000005922e-06 × 6371000     		dr = 53.7075300003773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51522580--0.51517786) × cos(1.39403576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175841543712105 × 6371000     		do = 53.7065336109767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51522580--0.51517786) × cos(1.39402733) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175849842353676 × 6371000     		du = 53.7090682297196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39403576)-sin(1.39402733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175841543712105-0.175849842353676)×R²
    abs(-0.51517786--0.51522580)×8.29864157139704e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.29864157139704e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.29864157139704e-06×40589641000000     		ar = 2884.51332919965m²