Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54788 / 13606
↖ ↑ ↗
← N 80.514887°
W 29.520264°		 ← 50.33 m → N 80.514887°
W 29.517517°		 →
↑
50.33 m
↓
↑
50.33 m
↓
N 80.514435°
W 29.520264°		 ← 50.33 m →
2 533 m²		 N 80.514435°
W 29.517517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418003082275391 y=0.103809356689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418003082275391 × 217)
    floor (0.418003082275391 × 131072)
    floor (54788.5)     		tx = 54788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103809356689453 × 217)
    floor (0.103809356689453 × 131072)
    floor (13606.5)     		ty = 13606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54788 / 13606 ti = "17/54788/13606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54788/13606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54788 ÷ 217
    54788 ÷ 131072     		x = 0.417999267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13606 ÷ 217
    13606 ÷ 131072     		y = 0.103805541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417999267578125 × 2 - 1) × π
    -0.16400146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51522580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103805541992188 × 2 - 1) × π
    0.792388916015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.48936319726952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51522580} λ = -0.51522580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48936319726952))-π/2
    2×atan(12.0535979118897)-π/2
    2×1.48802310329058-π/2
    2.97604620658117-1.57079632675     		φ = 1.40524988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51522580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.520264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40524988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.514887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54788 KachelY 13606 -0.51522580 1.40524988 -29.520264 80.514887
    Oben rechts KachelX + 1 54789 KachelY 13606 -0.51517786 1.40524988 -29.517517 80.514887
    Unten links KachelX 54788 KachelY + 1 13607 -0.51522580 1.40524198 -29.520264 80.514435
    Unten rechts KachelX + 1 54789 KachelY + 1 13607 -0.51517786 1.40524198 -29.517517 80.514435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40524988-1.40524198) × R
    7.89999999994961e-06 × 6371000     		dl = 50.330899999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40524988-1.40524198) × R
    7.89999999994961e-06 × 6371000     		dr = 50.330899999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51522580--0.51517786) × cos(1.40524988) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164791331589152 × 6371000     		do = 50.3315143961692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51522580--0.51517786) × cos(1.40524198) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164799123578788 × 6371000     		du = 50.3338942703697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40524988)-sin(1.40524198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164791331589152-0.164799123578788)×R²
    abs(-0.51517786--0.51522580)×7.79198963560268e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.79198963560268e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.79198963560268e-06×40589641000000     		ar = 2533.29030862981m²