Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54786 / 23036
↖ ↑ ↗
← N 47.055154°
E120.948486°		 ← 416.17 m → N 47.055154°
E120.953980°		 →
↑
416.15 m
↓
↑
416.15 m
↓
N 47.051412°
E120.948486°		 ← 416.20 m →
173 197 m²		 N 47.051412°
E120.953980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.835975646972656 y=0.351509094238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.835975646972656 × 216)
    floor (0.835975646972656 × 65536)
    floor (54786.5)     		tx = 54786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351509094238281 × 216)
    floor (0.351509094238281 × 65536)
    floor (23036.5)     		ty = 23036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54786 / 23036 ti = "16/54786/23036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54786/23036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54786 ÷ 216
    54786 ÷ 65536     		x = 0.835968017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23036 ÷ 216
    23036 ÷ 65536     		y = 0.35150146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.835968017578125 × 2 - 1) × π
    0.67193603515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.11094931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35150146484375 × 2 - 1) × π
    0.2969970703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.933043814204773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11094931} λ = 2.11094931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.933043814204773))-π/2
    2×atan(2.54223550544277)-π/2
    2×1.19603184780101-π/2
    2.39206369560202-1.57079632675     		φ = 0.82126737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11094931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 120.948486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82126737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.055154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54786 KachelY 23036 2.11094931 0.82126737 120.948486 47.055154
    Oben rechts KachelX + 1 54787 KachelY 23036 2.11104519 0.82126737 120.953980 47.055154
    Unten links KachelX 54786 KachelY + 1 23037 2.11094931 0.82120205 120.948486 47.051412
    Unten rechts KachelX + 1 54787 KachelY + 1 23037 2.11104519 0.82120205 120.953980 47.051412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82126737-0.82120205) × R
    6.53200000000353e-05 × 6371000     		dl = 416.153720000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82126737-0.82120205) × R
    6.53200000000353e-05 × 6371000     		dr = 416.153720000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11094931-2.11104519) × cos(0.82126737) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.681294027344564 × 6371000     		do = 416.169464918315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11094931-2.11104519) × cos(0.82120205) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.681341840775734 × 6371000     		du = 416.198671823508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82126737)-sin(0.82120205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681294027344564-0.681341840775734)×R²
    abs(2.11104519-2.11094931)×4.78134311693301e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.78134311693301e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.78134311693301e-05×40589641000000     		ar = 173196.548319003m²