Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54783 / 14850
↖ ↑ ↗
← N 79.934958°
W 29.533996°		 ← 53.38 m → N 79.934958°
W 29.531250°		 →
↑
53.39 m
↓
↑
53.39 m
↓
N 79.934478°
W 29.533996°		 ← 53.38 m →
2 850 m²		 N 79.934478°
W 29.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417964935302734 y=0.113300323486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417964935302734 × 217)
    floor (0.417964935302734 × 131072)
    floor (54783.5)     		tx = 54783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113300323486328 × 217)
    floor (0.113300323486328 × 131072)
    floor (14850.5)     		ty = 14850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54783 / 14850 ti = "17/54783/14850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54783/14850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54783 ÷ 217
    54783 ÷ 131072     		x = 0.417961120605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14850 ÷ 217
    14850 ÷ 131072     		y = 0.113296508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417961120605469 × 2 - 1) × π
    -0.164077758789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.51546548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113296508789062 × 2 - 1) × π
    0.773406982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.42972969414217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51546548} λ = -0.51546548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42972969414217))-π/2
    2×atan(11.3558121225692)-π/2
    2×1.48296226804711-π/2
    2.96592453609421-1.57079632675     		φ = 1.39512821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51546548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.533996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39512821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.934958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54783 KachelY 14850 -0.51546548 1.39512821 -29.533996 79.934958
    Oben rechts KachelX + 1 54784 KachelY 14850 -0.51541754 1.39512821 -29.531250 79.934958
    Unten links KachelX 54783 KachelY + 1 14851 -0.51546548 1.39511983 -29.533996 79.934478
    Unten rechts KachelX + 1 54784 KachelY + 1 14851 -0.51541754 1.39511983 -29.531250 79.934478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39512821-1.39511983) × R
    8.37999999991901e-06 × 6371000     		dl = 53.388979999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39512821-1.39511983) × R
    8.37999999991901e-06 × 6371000     		dr = 53.388979999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51546548--0.51541754) × cos(1.39512821) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.174766011024474 × 6371000     		do = 53.3780382440867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51546548--0.51541754) × cos(1.39511983) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.174774262050092 × 6371000     		du = 53.3805583196918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39512821)-sin(1.39511983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174766011024474-0.174774262050092)×R²
    abs(-0.51541754--0.51546548)×8.25102561782809e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.25102561782809e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.25102561782809e-06×40589641000000     		ar = 2849.86628836136m²