Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54780 / 14904
↖ ↑ ↗
← N 79.909004°
W 29.542236°		 ← 53.50 m → N 79.909004°
W 29.539490°		 →
↑
53.45 m
↓
↑
53.45 m
↓
N 79.908524°
W 29.542236°		 ← 53.51 m →
2 860 m²		 N 79.908524°
W 29.539490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417942047119141 y=0.113712310791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417942047119141 × 217)
    floor (0.417942047119141 × 131072)
    floor (54780.5)     		tx = 54780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113712310791016 × 217)
    floor (0.113712310791016 × 131072)
    floor (14904.5)     		ty = 14904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54780 / 14904 ti = "17/54780/14904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54780/14904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54780 ÷ 217
    54780 ÷ 131072     		x = 0.417938232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14904 ÷ 217
    14904 ÷ 131072     		y = 0.11370849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417938232421875 × 2 - 1) × π
    -0.16412353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51560929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11370849609375 × 2 - 1) × π
    0.7725830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.42714110156268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51560929} λ = -0.51560929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42714110156268))-π/2
    2×atan(11.3264545653454)-π/2
    2×1.48273578054644-π/2
    2.96547156109287-1.57079632675     		φ = 1.39467523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51560929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.542236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39467523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.909004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54780 KachelY 14904 -0.51560929 1.39467523 -29.542236 79.909004
    Oben rechts KachelX + 1 54781 KachelY 14904 -0.51556136 1.39467523 -29.539490 79.909004
    Unten links KachelX 54780 KachelY + 1 14905 -0.51560929 1.39466684 -29.542236 79.908524
    Unten rechts KachelX + 1 54781 KachelY + 1 14905 -0.51556136 1.39466684 -29.539490 79.908524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39467523-1.39466684) × R
    8.39000000008028e-06 × 6371000     		dl = 53.4526900005115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39467523-1.39466684) × R
    8.39000000008028e-06 × 6371000     		dr = 53.4526900005115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51560929--0.51556136) × cos(1.39467523) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.175212001714362 × 6371000     		do = 53.5030925238938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51560929--0.51556136) × cos(1.39466684) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.175220261921004 × 6371000     		du = 53.5056148773621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39467523)-sin(1.39466684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175212001714362-0.175220261921004)×R²
    abs(-0.51556136--0.51560929)×8.26020664149163e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.26020664149163e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.26020664149163e-06×40589641000000     		ar = 2859.95163199574m²