Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54780 / 12794
↖ ↑ ↗
← N 80.875441°
W 29.542236°		 ← 48.42 m → N 80.875441°
W 29.539490°		 →
↑
48.42 m
↓
↑
48.42 m
↓
N 80.875006°
W 29.542236°		 ← 48.43 m →
2 345 m²		 N 80.875006°
W 29.539490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417942047119141 y=0.0976142883300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417942047119141 × 217)
    floor (0.417942047119141 × 131072)
    floor (54780.5)     		tx = 54780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0976142883300781 × 217)
    floor (0.0976142883300781 × 131072)
    floor (12794.5)     		ty = 12794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54780 / 12794 ti = "17/54780/12794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54780/12794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54780 ÷ 217
    54780 ÷ 131072     		x = 0.417938232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12794 ÷ 217
    12794 ÷ 131072     		y = 0.0976104736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417938232421875 × 2 - 1) × π
    -0.16412353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51560929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0976104736328125 × 2 - 1) × π
    0.804779052734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.528287959761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51560929} λ = -0.51560929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.528287959761))-π/2
    2×atan(12.5320324162036)-π/2
    2×1.49116952746662-π/2
    2.98233905493324-1.57079632675     		φ = 1.41154273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51560929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.542236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41154273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.875441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54780 KachelY 12794 -0.51560929 1.41154273 -29.542236 80.875441
    Oben rechts KachelX + 1 54781 KachelY 12794 -0.51556136 1.41154273 -29.539490 80.875441
    Unten links KachelX 54780 KachelY + 1 12795 -0.51560929 1.41153513 -29.542236 80.875006
    Unten rechts KachelX + 1 54781 KachelY + 1 12795 -0.51556136 1.41153513 -29.539490 80.875006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41154273-1.41153513) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dl = 48.4195999999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41154273-1.41153513) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dr = 48.4195999999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51560929--0.51556136) × cos(1.41154273) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158581292694691 × 6371000     		do = 48.4247054573048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51560929--0.51556136) × cos(1.41153513) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158588796519134 × 6371000     		du = 48.4269968403693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41154273)-sin(1.41153513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158581292694691-0.158588796519134)×R²
    abs(-0.51556136--0.51560929)×7.50382444236752e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.50382444236752e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.50382444236752e-06×40589641000000     		ar = 2344.76034238709m²