Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54777 / 43095
↖ ↑ ↗
← N 52.337017°
W 29.550476°		 ← 186.58 m → N 52.337017°
W 29.547730°		 →
↑
186.61 m
↓
↑
186.61 m
↓
N 52.335339°
W 29.550476°		 ← 186.59 m →
34 818 m²		 N 52.335339°
W 29.547730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417919158935547 y=0.328792572021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417919158935547 × 217)
    floor (0.417919158935547 × 131072)
    floor (54777.5)     		tx = 54777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328792572021484 × 217)
    floor (0.328792572021484 × 131072)
    floor (43095.5)     		ty = 43095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54777 / 43095 ti = "17/54777/43095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54777/43095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54777 ÷ 217
    54777 ÷ 131072     		x = 0.417915344238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43095 ÷ 217
    43095 ÷ 131072     		y = 0.328788757324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417915344238281 × 2 - 1) × π
    -0.164169311523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.51575310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328788757324219 × 2 - 1) × π
    0.342422485351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.07575196437368
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51575310} λ = -0.51575310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07575196437368))-π/2
    2×atan(2.93219697940057)-π/2
    2×1.24212479974169-π/2
    2.48424959948338-1.57079632675     		φ = 0.91345327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51575310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.550476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91345327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.337017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54777 KachelY 43095 -0.51575310 0.91345327 -29.550476 52.337017
    Oben rechts KachelX + 1 54778 KachelY 43095 -0.51570517 0.91345327 -29.547730 52.337017
    Unten links KachelX 54777 KachelY + 1 43096 -0.51575310 0.91342398 -29.550476 52.335339
    Unten rechts KachelX + 1 54778 KachelY + 1 43096 -0.51570517 0.91342398 -29.547730 52.335339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91345327-0.91342398) × R
    2.92899999999596e-05 × 6371000     		dl = 186.606589999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91345327-0.91342398) × R
    2.92899999999596e-05 × 6371000     		dr = 186.606589999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51575310--0.51570517) × cos(0.91345327) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.611015725850333 × 6371000     		do = 186.581002407263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51575310--0.51570517) × cos(0.91342398) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.611038912092863 × 6371000     		du = 186.58808260535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91345327)-sin(0.91342398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611015725850333-0.611038912092863)×R²
    abs(-0.51570517--0.51575310)×2.31862425298379e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.31862425298379e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.31862425298379e-05×40589641000000     		ar = 34817.905226306m²