Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54777 / 42664
↖ ↑ ↗
← N 53.054422°
W 29.550476°		 ← 183.54 m → N 53.054422°
W 29.547730°		 →
↑
183.55 m
↓
↑
183.55 m
↓
N 53.052771°
W 29.550476°		 ← 183.55 m →
33 689 m²		 N 53.052771°
W 29.547730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417919158935547 y=0.325504302978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417919158935547 × 217)
    floor (0.417919158935547 × 131072)
    floor (54777.5)     		tx = 54777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325504302978516 × 217)
    floor (0.325504302978516 × 131072)
    floor (42664.5)     		ty = 42664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54777 / 42664 ti = "17/54777/42664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54777/42664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54777 ÷ 217
    54777 ÷ 131072     		x = 0.417915344238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42664 ÷ 217
    42664 ÷ 131072     		y = 0.32550048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417915344238281 × 2 - 1) × π
    -0.164169311523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.51575310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32550048828125 × 2 - 1) × π
    0.3489990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09641276810992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51575310} λ = -0.51575310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09641276810992))-π/2
    2×atan(2.99340868984388)-π/2
    2×1.24838533553521-π/2
    2.49677067107043-1.57079632675     		φ = 0.92597434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51575310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.550476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92597434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.054422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54777 KachelY 42664 -0.51575310 0.92597434 -29.550476 53.054422
    Oben rechts KachelX + 1 54778 KachelY 42664 -0.51570517 0.92597434 -29.547730 53.054422
    Unten links KachelX 54777 KachelY + 1 42665 -0.51575310 0.92594553 -29.550476 53.052771
    Unten rechts KachelX + 1 54778 KachelY + 1 42665 -0.51570517 0.92594553 -29.547730 53.052771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92597434-0.92594553) × R
    2.88099999999902e-05 × 6371000     		dl = 183.548509999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92597434-0.92594553) × R
    2.88099999999902e-05 × 6371000     		dr = 183.548509999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51575310--0.51570517) × cos(0.92597434) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.601056178678483 × 6371000     		do = 183.539734864991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51575310--0.51570517) × cos(0.92594553) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.60107920357624 × 6371000     		du = 183.546765794511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92597434)-sin(0.92594553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601056178678483-0.60107920357624)×R²
    abs(-0.51570517--0.51575310)×2.30248977570735e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.30248977570735e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.30248977570735e-05×40589641000000     		ar = 33689.0901209052m²