Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54777 / 18708
↖ ↑ ↗
← N 77.904164°
W 29.550476°		 ← 63.99 m → N 77.904164°
W 29.547730°		 →
↑
64.03 m
↓
↑
64.03 m
↓
N 77.903588°
W 29.550476°		 ← 63.99 m →
4 097 m²		 N 77.903588°
W 29.547730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417919158935547 y=0.142734527587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417919158935547 × 217)
    floor (0.417919158935547 × 131072)
    floor (54777.5)     		tx = 54777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142734527587891 × 217)
    floor (0.142734527587891 × 131072)
    floor (18708.5)     		ty = 18708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54777 / 18708 ti = "17/54777/18708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54777/18708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54777 ÷ 217
    54777 ÷ 131072     		x = 0.417915344238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18708 ÷ 217
    18708 ÷ 131072     		y = 0.142730712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417915344238281 × 2 - 1) × π
    -0.164169311523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.51575310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142730712890625 × 2 - 1) × π
    0.71453857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24478913540799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51575310} λ = -0.51575310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24478913540799))-π/2
    2×atan(9.43842511694961)-π/2
    2×1.46524024123445-π/2
    2.93048048246891-1.57079632675     		φ = 1.35968416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51575310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.550476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35968416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.904164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54777 KachelY 18708 -0.51575310 1.35968416 -29.550476 77.904164
    Oben rechts KachelX + 1 54778 KachelY 18708 -0.51570517 1.35968416 -29.547730 77.904164
    Unten links KachelX 54777 KachelY + 1 18709 -0.51575310 1.35967411 -29.550476 77.903588
    Unten rechts KachelX + 1 54778 KachelY + 1 18709 -0.51570517 1.35967411 -29.547730 77.903588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35968416-1.35967411) × R
    1.00499999999837e-05 × 6371000     		dl = 64.028549999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35968416-1.35967411) × R
    1.00499999999837e-05 × 6371000     		dr = 64.028549999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51575310--0.51570517) × cos(1.35968416) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.209547504206026 × 6371000     		do = 63.9878512656766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51575310--0.51570517) × cos(1.35967411) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.209557331070044 × 6371000     		du = 63.9908520168217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35968416)-sin(1.35967411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209547504206026-0.209557331070044)×R²
    abs(-0.51570517--0.51575310)×9.82686401801436e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.82686401801436e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.82686401801436e-06×40589641000000     		ar = 4097.14540107601m²