Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54777 / 14893
↖ ↑ ↗
← N 79.914297°
W 29.550476°		 ← 53.48 m → N 79.914297°
W 29.547730°		 →
↑
53.45 m
↓
↑
53.45 m
↓
N 79.913816°
W 29.550476°		 ← 53.48 m →
2 858 m²		 N 79.913816°
W 29.547730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417919158935547 y=0.113628387451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417919158935547 × 217)
    floor (0.417919158935547 × 131072)
    floor (54777.5)     		tx = 54777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113628387451172 × 217)
    floor (0.113628387451172 × 131072)
    floor (14893.5)     		ty = 14893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54777 / 14893 ti = "17/54777/14893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54777/14893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54777 ÷ 217
    54777 ÷ 131072     		x = 0.417915344238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14893 ÷ 217
    14893 ÷ 131072     		y = 0.113624572753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417915344238281 × 2 - 1) × π
    -0.164169311523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.51575310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113624572753906 × 2 - 1) × π
    0.772750854492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.4276684074585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51575310} λ = -0.51575310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4276684074585))-π/2
    2×atan(11.3324286465622)-π/2
    2×1.48278196371701-π/2
    2.96556392743402-1.57079632675     		φ = 1.39476760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51575310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.550476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39476760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.914297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54777 KachelY 14893 -0.51575310 1.39476760 -29.550476 79.914297
    Oben rechts KachelX + 1 54778 KachelY 14893 -0.51570517 1.39476760 -29.547730 79.914297
    Unten links KachelX 54777 KachelY + 1 14894 -0.51575310 1.39475921 -29.550476 79.913816
    Unten rechts KachelX + 1 54778 KachelY + 1 14894 -0.51570517 1.39475921 -29.547730 79.913816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39476760-1.39475921) × R
    8.39000000008028e-06 × 6371000     		dl = 53.4526900005115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39476760-1.39475921) × R
    8.39000000008028e-06 × 6371000     		dr = 53.4526900005115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51575310--0.51570517) × cos(1.39476760) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.175121059863669 × 6371000     		do = 53.4753223356304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51575310--0.51570517) × cos(1.39475921) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.175129320206065 × 6371000     		du = 53.4778447305529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39476760)-sin(1.39475921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175121059863669-0.175129320206065)×R²
    abs(-0.51570517--0.51575310)×8.26034239598261e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.26034239598261e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.26034239598261e-06×40589641000000     		ar = 2858.46724185278m²