Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54777 / 12786
↖ ↑ ↗
← N 80.878925°
W 29.550476°		 ← 48.41 m → N 80.878925°
W 29.547730°		 →
↑
48.42 m
↓
↑
48.42 m
↓
N 80.878489°
W 29.550476°		 ← 48.41 m →
2 344 m²		 N 80.878489°
W 29.547730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417919158935547 y=0.0975532531738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417919158935547 × 217)
    floor (0.417919158935547 × 131072)
    floor (54777.5)     		tx = 54777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0975532531738281 × 217)
    floor (0.0975532531738281 × 131072)
    floor (12786.5)     		ty = 12786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54777 / 12786 ti = "17/54777/12786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54777/12786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54777 ÷ 217
    54777 ÷ 131072     		x = 0.417915344238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12786 ÷ 217
    12786 ÷ 131072     		y = 0.0975494384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417915344238281 × 2 - 1) × π
    -0.164169311523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.51575310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0975494384765625 × 2 - 1) × π
    0.804901123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.52867145495796
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51575310} λ = -0.51575310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52867145495796))-π/2
    2×atan(12.5368393120952)-π/2
    2×1.49119992929292-π/2
    2.98239985858583-1.57079632675     		φ = 1.41160353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51575310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.550476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41160353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.878925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54777 KachelY 12786 -0.51575310 1.41160353 -29.550476 80.878925
    Oben rechts KachelX + 1 54778 KachelY 12786 -0.51570517 1.41160353 -29.547730 80.878925
    Unten links KachelX 54777 KachelY + 1 12787 -0.51575310 1.41159593 -29.550476 80.878489
    Unten rechts KachelX + 1 54778 KachelY + 1 12787 -0.51570517 1.41159593 -29.547730 80.878489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41160353-1.41159593) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dl = 48.4195999999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41160353-1.41159593) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dr = 48.4195999999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51575310--0.51570517) × cos(1.41160353) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.158521261769441 × 6371000     		do = 48.4063742919955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51575310--0.51570517) × cos(1.41159593) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.158528765667149 × 6371000     		du = 48.4086656974323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41160353)-sin(1.41159593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158521261769441-0.158528765667149)×R²
    abs(-0.51570517--0.51575310)×7.50389770748372e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.50389770748372e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.50389770748372e-06×40589641000000     		ar = 2343.87275509256m²