Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54775 / 18706
↖ ↑ ↗
← N 77.905314°
W 29.555969°		 ← 64 m → N 77.905314°
W 29.553223°		 →
↑
63.96 m
↓
↑
63.96 m
↓
N 77.904739°
W 29.555969°		 ← 64 m →
4 094 m²		 N 77.904739°
W 29.553223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417903900146484 y=0.142719268798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417903900146484 × 217)
    floor (0.417903900146484 × 131072)
    floor (54775.5)     		tx = 54775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142719268798828 × 217)
    floor (0.142719268798828 × 131072)
    floor (18706.5)     		ty = 18706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54775 / 18706 ti = "17/54775/18706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54775/18706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54775 ÷ 217
    54775 ÷ 131072     		x = 0.417900085449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18706 ÷ 217
    18706 ÷ 131072     		y = 0.142715454101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417900085449219 × 2 - 1) × π
    -0.164199829101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.51584898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142715454101562 × 2 - 1) × π
    0.714569091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24488500920723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51584898} λ = -0.51584898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24488500920723))-π/2
    2×atan(9.4393300580038)-π/2
    2×1.46525028582151-π/2
    2.93050057164301-1.57079632675     		φ = 1.35970424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51584898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.555969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35970424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.905314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54775 KachelY 18706 -0.51584898 1.35970424 -29.555969 77.905314
    Oben rechts KachelX + 1 54776 KachelY 18706 -0.51580104 1.35970424 -29.553223 77.905314
    Unten links KachelX 54775 KachelY + 1 18707 -0.51584898 1.35969420 -29.555969 77.904739
    Unten rechts KachelX + 1 54776 KachelY + 1 18707 -0.51580104 1.35969420 -29.553223 77.904739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35970424-1.35969420) × R
    1.00399999998224e-05 × 6371000     		dl = 63.9648399988686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35970424-1.35969420) × R
    1.00399999998224e-05 × 6371000     		dr = 63.9648399988686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51584898--0.51580104) × cos(1.35970424) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20952786997055 × 6371000     		do = 63.9952047363371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51584898--0.51580104) × cos(1.35969420) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209537687098849 × 6371000     		du = 63.9982031400124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35970424)-sin(1.35969420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20952786997055-0.209537687098849)×R²
    abs(-0.51580104--0.51584898)×9.8171282987003e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.8171282987003e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.8171282987003e-06×40589641000000     		ar = 4093.538927915m²