Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54775 / 14969
↖ ↑ ↗
← N 79.877676°
W 29.555969°		 ← 53.68 m → N 79.877676°
W 29.553223°		 →
↑
53.64 m
↓
↑
53.64 m
↓
N 79.877194°
W 29.555969°		 ← 53.68 m →
2 880 m²		 N 79.877194°
W 29.553223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417903900146484 y=0.114208221435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417903900146484 × 217)
    floor (0.417903900146484 × 131072)
    floor (54775.5)     		tx = 54775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114208221435547 × 217)
    floor (0.114208221435547 × 131072)
    floor (14969.5)     		ty = 14969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54775 / 14969 ti = "17/54775/14969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54775/14969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54775 ÷ 217
    54775 ÷ 131072     		x = 0.417900085449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14969 ÷ 217
    14969 ÷ 131072     		y = 0.114204406738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417900085449219 × 2 - 1) × π
    -0.164199829101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.51584898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114204406738281 × 2 - 1) × π
    0.771591186523438 × 3.1415926535     		Φ = 2.42402520308738
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51584898} λ = -0.51584898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42402520308738))-π/2
    2×atan(11.2912174090447)-π/2
    2×1.48246239003679-π/2
    2.96492478007358-1.57079632675     		φ = 1.39412845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51584898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.555969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39412845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.877676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54775 KachelY 14969 -0.51584898 1.39412845 -29.555969 79.877676
    Oben rechts KachelX + 1 54776 KachelY 14969 -0.51580104 1.39412845 -29.553223 79.877676
    Unten links KachelX 54775 KachelY + 1 14970 -0.51584898 1.39412003 -29.555969 79.877194
    Unten rechts KachelX + 1 54776 KachelY + 1 14970 -0.51580104 1.39412003 -29.553223 79.877194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39412845-1.39412003) × R
    8.41999999989795e-06 × 6371000     		dl = 53.6438199993499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39412845-1.39412003) × R
    8.41999999989795e-06 × 6371000     		dr = 53.6438199993499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51584898--0.51580104) × cos(1.39412845) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175750297207594 × 6371000     		do = 53.6786645798141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51584898--0.51580104) × cos(1.39412003) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175758586142198 × 6371000     		du = 53.6811962337995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39412845)-sin(1.39412003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175750297207594-0.175758586142198)×R²
    abs(-0.51580104--0.51584898)×8.28893460436131e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.28893460436131e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.28893460436131e-06×40589641000000     		ar = 2879.59652424241m²