Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54774 / 13709
↖ ↑ ↗
← N 80.468155°
W 29.558716°		 ← 50.57 m → N 80.468155°
W 29.555969°		 →
↑
50.59 m
↓
↑
50.59 m
↓
N 80.467700°
W 29.558716°		 ← 50.57 m →
2 558 m²		 N 80.467700°
W 29.555969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417896270751953 y=0.104595184326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417896270751953 × 217)
    floor (0.417896270751953 × 131072)
    floor (54774.5)     		tx = 54774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104595184326172 × 217)
    floor (0.104595184326172 × 131072)
    floor (13709.5)     		ty = 13709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54774 / 13709 ti = "17/54774/13709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54774/13709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54774 ÷ 217
    54774 ÷ 131072     		x = 0.417892456054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13709 ÷ 217
    13709 ÷ 131072     		y = 0.104591369628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417892456054688 × 2 - 1) × π
    -0.164215087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51589691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104591369628906 × 2 - 1) × π
    0.790817260742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.48442569660865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51589691} λ = -0.51589691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48442569660865))-π/2
    2×atan(11.9942299495211)-π/2
    2×1.48761528244359-π/2
    2.97523056488719-1.57079632675     		φ = 1.40443424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51589691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.558716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40443424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.468155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54774 KachelY 13709 -0.51589691 1.40443424 -29.558716 80.468155
    Oben rechts KachelX + 1 54775 KachelY 13709 -0.51584898 1.40443424 -29.555969 80.468155
    Unten links KachelX 54774 KachelY + 1 13710 -0.51589691 1.40442630 -29.558716 80.467700
    Unten rechts KachelX + 1 54775 KachelY + 1 13710 -0.51584898 1.40442630 -29.555969 80.467700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40443424-1.40442630) × R
    7.9400000001506e-06 × 6371000     		dl = 50.5857400009595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40443424-1.40442630) × R
    7.9400000001506e-06 × 6371000     		dr = 50.5857400009595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51589691--0.51584898) × cos(1.40443424) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.165595765624042 × 6371000     		do = 50.5666591503926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51589691--0.51584898) × cos(1.40442630) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.165603595996915 × 6371000     		du = 50.5690502489487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40443424)-sin(1.40442630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165595765624042-0.165603595996915)×R²
    abs(-0.51584898--0.51589691)×7.83037287288568e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.83037287288568e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.83037287288568e-06×40589641000000     		ar = 2558.0123503342m²