Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54773 / 18712
↖ ↑ ↗
← N 77.901861°
W 29.561462°		 ← 64.01 m → N 77.901861°
W 29.558716°		 →
↑
64.03 m
↓
↑
64.03 m
↓
N 77.901285°
W 29.561462°		 ← 64.02 m →
4 099 m²		 N 77.901285°
W 29.558716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417888641357422 y=0.142765045166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417888641357422 × 217)
    floor (0.417888641357422 × 131072)
    floor (54773.5)     		tx = 54773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142765045166016 × 217)
    floor (0.142765045166016 × 131072)
    floor (18712.5)     		ty = 18712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54773 / 18712 ti = "17/54773/18712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54773/18712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54773 ÷ 217
    54773 ÷ 131072     		x = 0.417884826660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18712 ÷ 217
    18712 ÷ 131072     		y = 0.14276123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417884826660156 × 2 - 1) × π
    -0.164230346679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.51594485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14276123046875 × 2 - 1) × π
    0.7144775390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24459738780951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51594485} λ = -0.51594485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24459738780951))-π/2
    2×atan(9.43661549510087)-π/2
    2×1.46522014923523-π/2
    2.93044029847047-1.57079632675     		φ = 1.35964397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51594485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.561462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35964397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.901861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54773 KachelY 18712 -0.51594485 1.35964397 -29.561462 77.901861
    Oben rechts KachelX + 1 54774 KachelY 18712 -0.51589691 1.35964397 -29.558716 77.901861
    Unten links KachelX 54773 KachelY + 1 18713 -0.51594485 1.35963392 -29.561462 77.901285
    Unten rechts KachelX + 1 54774 KachelY + 1 18713 -0.51589691 1.35963392 -29.558716 77.901285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35964397-1.35963392) × R
    1.00499999999837e-05 × 6371000     		dl = 64.028549999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35964397-1.35963392) × R
    1.00499999999837e-05 × 6371000     		dr = 64.028549999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51594485--0.51589691) × cos(1.35964397) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209586801757199 × 6371000     		do = 64.0132040208838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51594485--0.51589691) × cos(1.35963392) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209596628536569 × 6371000     		du = 64.0162053722447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35964397)-sin(1.35963392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209586801757199-0.209596628536569)×R²
    abs(-0.51589691--0.51594485)×9.82677936989251e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.82677936989251e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.82677936989251e-06×40589641000000     		ar = 4098.76872024095m²