Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54772 / 14914
↖ ↑ ↗
← N 79.904191°
W 29.564209°		 ← 53.54 m → N 79.904191°
W 29.561462°		 →
↑
53.52 m
↓
↑
53.52 m
↓
N 79.903710°
W 29.564209°		 ← 53.54 m →
2 865 m²		 N 79.903710°
W 29.561462°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417881011962891 y=0.113788604736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417881011962891 × 217)
    floor (0.417881011962891 × 131072)
    floor (54772.5)     		tx = 54772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113788604736328 × 217)
    floor (0.113788604736328 × 131072)
    floor (14914.5)     		ty = 14914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54772 / 14914 ti = "17/54772/14914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54772/14914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54772 ÷ 217
    54772 ÷ 131072     		x = 0.417877197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14914 ÷ 217
    14914 ÷ 131072     		y = 0.113784790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417877197265625 × 2 - 1) × π
    -0.16424560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51599279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113784790039062 × 2 - 1) × π
    0.772430419921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.42666173256648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51599279} λ = -0.51599279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42666173256648))-π/2
    2×atan(11.3210263153612)-π/2
    2×1.48269377503526-π/2
    2.96538755007052-1.57079632675     		φ = 1.39459122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51599279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.564209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39459122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.904191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54772 KachelY 14914 -0.51599279 1.39459122 -29.564209 79.904191
    Oben rechts KachelX + 1 54773 KachelY 14914 -0.51594485 1.39459122 -29.561462 79.904191
    Unten links KachelX 54772 KachelY + 1 14915 -0.51599279 1.39458282 -29.564209 79.903710
    Unten rechts KachelX + 1 54773 KachelY + 1 14915 -0.51594485 1.39458282 -29.561462 79.903710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39459122-1.39458282) × R
    8.4000000000195e-06 × 6371000     		dl = 53.5164000001242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39459122-1.39458282) × R
    8.4000000000195e-06 × 6371000     		dr = 53.5164000001242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51599279--0.51594485) × cos(1.39459122) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175294711522432 × 6371000     		do = 53.5395169847904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51599279--0.51594485) × cos(1.39458282) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17530298145069 × 6371000     		du = 53.5420428337482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39459122)-sin(1.39458282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175294711522432-0.17530298145069)×R²
    abs(-0.51594485--0.51599279)×8.2699282575871e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.2699282575871e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.2699282575871e-06×40589641000000     		ar = 2865.30979410536m²