Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54771 / 12778
↖ ↑ ↗
← N 80.882407°
W 29.566955°		 ← 48.39 m → N 80.882407°
W 29.564209°		 →
↑
48.36 m
↓
↑
48.36 m
↓
N 80.881972°
W 29.566955°		 ← 48.39 m →
2 340 m²		 N 80.881972°
W 29.564209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417873382568359 y=0.0974922180175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417873382568359 × 217)
    floor (0.417873382568359 × 131072)
    floor (54771.5)     		tx = 54771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0974922180175781 × 217)
    floor (0.0974922180175781 × 131072)
    floor (12778.5)     		ty = 12778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54771 / 12778 ti = "17/54771/12778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54771/12778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54771 ÷ 217
    54771 ÷ 131072     		x = 0.417869567871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12778 ÷ 217
    12778 ÷ 131072     		y = 0.0974884033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417869567871094 × 2 - 1) × π
    -0.164260864257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.51604072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0974884033203125 × 2 - 1) × π
    0.805023193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52905495015492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51604072} λ = -0.51604072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52905495015492))-π/2
    2×atan(12.5416480517618)-π/2
    2×1.49123031960986-π/2
    2.98246063921972-1.57079632675     		φ = 1.41166431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51604072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.566955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41166431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.882407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54771 KachelY 12778 -0.51604072 1.41166431 -29.566955 80.882407
    Oben rechts KachelX + 1 54772 KachelY 12778 -0.51599279 1.41166431 -29.564209 80.882407
    Unten links KachelX 54771 KachelY + 1 12779 -0.51604072 1.41165672 -29.566955 80.881972
    Unten rechts KachelX + 1 54772 KachelY + 1 12779 -0.51599279 1.41165672 -29.564209 80.881972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41166431-1.41165672) × R
    7.58999999983523e-06 × 6371000     		dl = 48.3558899989502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41166431-1.41165672) × R
    7.58999999983523e-06 × 6371000     		dr = 48.3558899989502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51604072--0.51599279) × cos(1.41166431) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158461250005499 × 6371000     		do = 48.3880489780463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51604072--0.51599279) × cos(1.41165672) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15846874410278 × 6371000     		du = 48.390337390805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41166431)-sin(1.41165672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158461250005499-0.15846874410278)×R²
    abs(-0.51599279--0.51604072)×7.49409728065253e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.49409728065253e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.49409728065253e-06×40589641000000     		ar = 2339.90250290825m²