Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5477 / 3554
↖ ↑ ↗
← N 80.234775°
W119.827881°		 ← 207.20 m → N 80.234775°
W119.816895°		 →
↑
207.25 m
↓
↑
207.25 m
↓
N 80.232911°
W119.827881°		 ← 207.24 m →
42 947 m²		 N 80.232911°
W119.816895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167160034179688 y=0.108474731445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167160034179688 × 215)
    floor (0.167160034179688 × 32768)
    floor (5477.5)     		tx = 5477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108474731445312 × 215)
    floor (0.108474731445312 × 32768)
    floor (3554.5)     		ty = 3554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5477 / 3554 ti = "15/5477/3554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5477/3554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5477 ÷ 215
    5477 ÷ 32768     		x = 0.167144775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3554 ÷ 215
    3554 ÷ 32768     		y = 0.10845947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.167144775390625 × 2 - 1) × π
    -0.66571044921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.09139106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10845947265625 × 2 - 1) × π
    0.7830810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46012168850128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09139106} λ = -2.09139106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46012168850128))-π/2
    2×atan(11.7062359676214)-π/2
    2×1.48557865765726-π/2
    2.97115731531452-1.57079632675     		φ = 1.40036099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09139106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.827881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40036099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.234775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5477 KachelY 3554 -2.09139106 1.40036099 -119.827881 80.234775
    Oben rechts KachelX + 1 5478 KachelY 3554 -2.09119931 1.40036099 -119.816895 80.234775
    Unten links KachelX 5477 KachelY + 1 3555 -2.09139106 1.40032846 -119.827881 80.232911
    Unten rechts KachelX + 1 5478 KachelY + 1 3555 -2.09119931 1.40032846 -119.816895 80.232911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40036099-1.40032846) × R
    3.25299999999196e-05 × 6371000     		dl = 207.248629999488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40036099-1.40032846) × R
    3.25299999999196e-05 × 6371000     		dr = 207.248629999488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09139106--2.09119931) × cos(1.40036099) × R
    0.000191749999999935 × 0.169611394335408 × 6371000     		do = 207.203936567292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09139106--2.09119931) × cos(1.40032846) × R
    0.000191749999999935 × 0.169643452919214 × 6371000     		du = 207.243100591568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40036099)-sin(1.40032846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169611394335408-0.169643452919214)×R²
    abs(-2.09119931--2.09139106)×3.20585838055332e-05×R²
    0.000191749999999935×3.20585838055332e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.20585838055332e-05×40589641000000     		ar = 42946.7903330857m²