Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54769 / 15093
↖ ↑ ↗
← N 79.817645°
W 29.572449°		 ← 53.99 m → N 79.817645°
W 29.569702°		 →
↑
53.96 m
↓
↑
53.96 m
↓
N 79.817159°
W 29.572449°		 ← 54 m →
2 914 m²		 N 79.817159°
W 29.569702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417858123779297 y=0.115154266357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417858123779297 × 217)
    floor (0.417858123779297 × 131072)
    floor (54769.5)     		tx = 54769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115154266357422 × 217)
    floor (0.115154266357422 × 131072)
    floor (15093.5)     		ty = 15093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54769 / 15093 ti = "17/54769/15093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54769/15093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54769 ÷ 217
    54769 ÷ 131072     		x = 0.417854309082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15093 ÷ 217
    15093 ÷ 131072     		y = 0.115150451660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417854309082031 × 2 - 1) × π
    -0.164291381835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.51613660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115150451660156 × 2 - 1) × π
    0.769699096679688 × 3.1415926535     		Φ = 2.41808102753449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51613660} λ = -0.51613660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41808102753449))-π/2
    2×atan(11.2242995134543)-π/2
    2×1.48193851355492-π/2
    2.96387702710984-1.57079632675     		φ = 1.39308070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51613660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.572449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39308070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.817645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54769 KachelY 15093 -0.51613660 1.39308070 -29.572449 79.817645
    Oben rechts KachelX + 1 54770 KachelY 15093 -0.51608866 1.39308070 -29.569702 79.817645
    Unten links KachelX 54769 KachelY + 1 15094 -0.51613660 1.39307223 -29.572449 79.817159
    Unten rechts KachelX + 1 54770 KachelY + 1 15094 -0.51608866 1.39307223 -29.569702 79.817159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39308070-1.39307223) × R
    8.47000000003817e-06 × 6371000     		dl = 53.9623700002432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39308070-1.39307223) × R
    8.47000000003817e-06 × 6371000     		dr = 53.9623700002432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51613660--0.51608866) × cos(1.39308070) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176781642090427 × 6371000     		do = 53.9936638538483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51613660--0.51608866) × cos(1.39307223) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176789978682397 × 6371000     		du = 53.9962100636198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39308070)-sin(1.39307223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176781642090427-0.176789978682397)×R²
    abs(-0.51608866--0.51613660)×8.3365919698597e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.3365919698597e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.3365919698597e-06×40589641000000     		ar = 2913.69476636216m²