Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54768 / 15094
↖ ↑ ↗
← N 79.817159°
W 29.575196°		 ← 54 m → N 79.817159°
W 29.572449°		 →
↑
54.03 m
↓
↑
54.03 m
↓
N 79.816673°
W 29.575196°		 ← 54 m →
2 917 m²		 N 79.816673°
W 29.572449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417850494384766 y=0.115161895751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417850494384766 × 217)
    floor (0.417850494384766 × 131072)
    floor (54768.5)     		tx = 54768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115161895751953 × 217)
    floor (0.115161895751953 × 131072)
    floor (15094.5)     		ty = 15094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54768 / 15094 ti = "17/54768/15094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54768/15094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54768 ÷ 217
    54768 ÷ 131072     		x = 0.4178466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15094 ÷ 217
    15094 ÷ 131072     		y = 0.115158081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4178466796875 × 2 - 1) × π
    -0.164306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51618454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115158081054688 × 2 - 1) × π
    0.769683837890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41803309063487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51618454} λ = -0.51618454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41803309063487))-π/2
    2×atan(11.2237614682315)-π/2
    2×1.48193427627305-π/2
    2.9638685525461-1.57079632675     		φ = 1.39307223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51618454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.575196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39307223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.817159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54768 KachelY 15094 -0.51618454 1.39307223 -29.575196 79.817159
    Oben rechts KachelX + 1 54769 KachelY 15094 -0.51613660 1.39307223 -29.572449 79.817159
    Unten links KachelX 54768 KachelY + 1 15095 -0.51618454 1.39306375 -29.575196 79.816673
    Unten rechts KachelX + 1 54769 KachelY + 1 15095 -0.51613660 1.39306375 -29.572449 79.816673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39307223-1.39306375) × R
    8.47999999997739e-06 × 6371000     		dl = 54.026079999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39307223-1.39306375) × R
    8.47999999997739e-06 × 6371000     		dr = 54.026079999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51618454--0.51613660) × cos(1.39307223) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.176789978682397 × 6371000     		do = 53.9962100637448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51618454--0.51613660) × cos(1.39306375) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.176798325104154 × 6371000     		du = 53.9987592757865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39307223)-sin(1.39306375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176789978682397-0.176798325104154)×R²
    abs(-0.51613660--0.51618454)×8.34642175773226e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.34642175773226e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.34642175773226e-06×40589641000000     		ar = 2917.27242658271m²