Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54768 / 14910
↖ ↑ ↗
← N 79.906117°
W 29.575196°		 ← 53.53 m → N 79.906117°
W 29.572449°		 →
↑
53.52 m
↓
↑
53.52 m
↓
N 79.905635°
W 29.575196°		 ← 53.53 m →
2 865 m²		 N 79.905635°
W 29.572449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417850494384766 y=0.113758087158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417850494384766 × 217)
    floor (0.417850494384766 × 131072)
    floor (54768.5)     		tx = 54768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113758087158203 × 217)
    floor (0.113758087158203 × 131072)
    floor (14910.5)     		ty = 14910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54768 / 14910 ti = "17/54768/14910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54768/14910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54768 ÷ 217
    54768 ÷ 131072     		x = 0.4178466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14910 ÷ 217
    14910 ÷ 131072     		y = 0.113754272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4178466796875 × 2 - 1) × π
    -0.164306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51618454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113754272460938 × 2 - 1) × π
    0.772491455078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.42685348016496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51618454} λ = -0.51618454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42685348016496))-π/2
    2×atan(11.3231973031037)-π/2
    2×1.48271057961871-π/2
    2.96542115923742-1.57079632675     		φ = 1.39462483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51618454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.575196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39462483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.906117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54768 KachelY 14910 -0.51618454 1.39462483 -29.575196 79.906117
    Oben rechts KachelX + 1 54769 KachelY 14910 -0.51613660 1.39462483 -29.572449 79.906117
    Unten links KachelX 54768 KachelY + 1 14911 -0.51618454 1.39461643 -29.575196 79.905635
    Unten rechts KachelX + 1 54769 KachelY + 1 14911 -0.51613660 1.39461643 -29.572449 79.905635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39462483-1.39461643) × R
    8.4000000000195e-06 × 6371000     		dl = 53.5164000001242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39462483-1.39461643) × R
    8.4000000000195e-06 × 6371000     		dr = 53.5164000001242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51618454--0.51613660) × cos(1.39462483) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.175261621840501 × 6371000     		do = 53.5294105443241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51618454--0.51613660) × cos(1.39461643) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.175269891818245 × 6371000     		du = 53.5319364083963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39462483)-sin(1.39461643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175261621840501-0.175269891818245)×R²
    abs(-0.51613660--0.51618454)×8.26997774397431e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.26997774397431e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.26997774397431e-06×40589641000000     		ar = 2864.76893401317m²