Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54768 / 14160
↖ ↑ ↗
← N 80.260827°
W 29.575196°		 ← 51.67 m → N 80.260827°
W 29.572449°		 →
↑
51.67 m
↓
↑
51.67 m
↓
N 80.260363°
W 29.575196°		 ← 51.67 m →
2 670 m²		 N 80.260363°
W 29.572449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417850494384766 y=0.108036041259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417850494384766 × 217)
    floor (0.417850494384766 × 131072)
    floor (54768.5)     		tx = 54768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108036041259766 × 217)
    floor (0.108036041259766 × 131072)
    floor (14160.5)     		ty = 14160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54768 / 14160 ti = "17/54768/14160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54768/14160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54768 ÷ 217
    54768 ÷ 131072     		x = 0.4178466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14160 ÷ 217
    14160 ÷ 131072     		y = 0.1080322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4178466796875 × 2 - 1) × π
    -0.164306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51618454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1080322265625 × 2 - 1) × π
    0.783935546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46280615488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51618454} λ = -0.51618454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46280615488))-π/2
    2×atan(11.7377031819403)-π/2
    2×1.48580601481675-π/2
    2.97161202963351-1.57079632675     		φ = 1.40081570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51618454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.575196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40081570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.260827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54768 KachelY 14160 -0.51618454 1.40081570 -29.575196 80.260827
    Oben rechts KachelX + 1 54769 KachelY 14160 -0.51613660 1.40081570 -29.572449 80.260827
    Unten links KachelX 54768 KachelY + 1 14161 -0.51618454 1.40080759 -29.575196 80.260363
    Unten rechts KachelX + 1 54769 KachelY + 1 14161 -0.51613660 1.40080759 -29.572449 80.260363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40081570-1.40080759) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dl = 51.6688100000358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40081570-1.40080759) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dr = 51.6688100000358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51618454--0.51613660) × cos(1.40081570) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.169163255099412 × 6371000     		do = 51.6668123696325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51618454--0.51613660) × cos(1.40080759) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.169171248212888 × 6371000     		du = 51.6692536722309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40081570)-sin(1.40080759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169163255099412-0.169171248212888)×R²
    abs(-0.51613660--0.51618454)×7.99311347632337e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.99311347632337e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.99311347632337e-06×40589641000000     		ar = 2669.62578121373m²