Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54767 / 14989
↖ ↑ ↗
← N 79.868018°
W 29.577942°		 ← 53.72 m → N 79.868018°
W 29.575196°		 →
↑
53.77 m
↓
↑
53.77 m
↓
N 79.867534°
W 29.577942°		 ← 53.72 m →
2 889 m²		 N 79.867534°
W 29.575196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417842864990234 y=0.114360809326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417842864990234 × 217)
    floor (0.417842864990234 × 131072)
    floor (54767.5)     		tx = 54767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114360809326172 × 217)
    floor (0.114360809326172 × 131072)
    floor (14989.5)     		ty = 14989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54767 / 14989 ti = "17/54767/14989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54767/14989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54767 ÷ 217
    54767 ÷ 131072     		x = 0.417839050292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14989 ÷ 217
    14989 ÷ 131072     		y = 0.114356994628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417839050292969 × 2 - 1) × π
    -0.164321899414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.51623247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114356994628906 × 2 - 1) × π
    0.771286010742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.42306646509498
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51623247} λ = -0.51623247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42306646509498))-π/2
    2×atan(11.2803972775986)-π/2
    2×1.48237810102482-π/2
    2.96475620204964-1.57079632675     		φ = 1.39395988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51623247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.577942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39395988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.868018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54767 KachelY 14989 -0.51623247 1.39395988 -29.577942 79.868018
    Oben rechts KachelX + 1 54768 KachelY 14989 -0.51618454 1.39395988 -29.575196 79.868018
    Unten links KachelX 54767 KachelY + 1 14990 -0.51623247 1.39395144 -29.577942 79.867534
    Unten rechts KachelX + 1 54768 KachelY + 1 14990 -0.51618454 1.39395144 -29.575196 79.867534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39395988-1.39395144) × R
    8.43999999999845e-06 × 6371000     		dl = 53.7712399999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39395988-1.39395144) × R
    8.43999999999845e-06 × 6371000     		dr = 53.7712399999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51623247--0.51618454) × cos(1.39395988) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.175916240880366 × 6371000     		do = 53.7181404252303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51623247--0.51618454) × cos(1.39395144) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.175924549253467 × 6371000     		du = 53.7206774869065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39395988)-sin(1.39395144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175916240880366-0.175924549253467)×R²
    abs(-0.51618454--0.51623247)×8.30837310106247e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.30837310106247e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.30837310106247e-06×40589641000000     		ar = 2888.55923156718m²