Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54766 / 13702
↖ ↑ ↗
← N 80.471338°
W 29.580689°		 ← 50.56 m → N 80.471338°
W 29.577942°		 →
↑
50.59 m
↓
↑
50.59 m
↓
N 80.470883°
W 29.580689°		 ← 50.56 m →
2 558 m²		 N 80.470883°
W 29.577942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417835235595703 y=0.104541778564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417835235595703 × 217)
    floor (0.417835235595703 × 131072)
    floor (54766.5)     		tx = 54766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104541778564453 × 217)
    floor (0.104541778564453 × 131072)
    floor (13702.5)     		ty = 13702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54766 / 13702 ti = "17/54766/13702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54766/13702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54766 ÷ 217
    54766 ÷ 131072     		x = 0.417831420898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13702 ÷ 217
    13702 ÷ 131072     		y = 0.104537963867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417831420898438 × 2 - 1) × π
    -0.164337158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51628041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104537963867188 × 2 - 1) × π
    0.790924072265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.48476125490599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51628041} λ = -0.51628041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48476125490599))-π/2
    2×atan(11.9982553882478)-π/2
    2×1.48764306136385-π/2
    2.97528612272769-1.57079632675     		φ = 1.40448980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51628041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.580689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40448980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.471338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54766 KachelY 13702 -0.51628041 1.40448980 -29.580689 80.471338
    Oben rechts KachelX + 1 54767 KachelY 13702 -0.51623247 1.40448980 -29.577942 80.471338
    Unten links KachelX 54766 KachelY + 1 13703 -0.51628041 1.40448186 -29.580689 80.470883
    Unten rechts KachelX + 1 54767 KachelY + 1 13703 -0.51623247 1.40448186 -29.577942 80.470883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40448980-1.40448186) × R
    7.93999999992856e-06 × 6371000     		dl = 50.5857399995449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40448980-1.40448186) × R
    7.93999999992856e-06 × 6371000     		dr = 50.5857399995449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51628041--0.51623247) × cos(1.40448980) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165540972445706 × 6371000     		do = 50.5604740095162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51628041--0.51623247) × cos(1.40448186) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16554880289162 × 6371000     		du = 50.5628656292541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40448980)-sin(1.40448186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165540972445706-0.16554880289162)×R²
    abs(-0.51623247--0.51628041)×7.83044591429194e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.83044591429194e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.83044591429194e-06×40589641000000     		ar = 2557.69948337305m²