Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54764 / 18916
↖ ↑ ↗
← N 77.783866°
W 29.586181°		 ← 64.61 m → N 77.783866°
W 29.583435°		 →
↑
64.67 m
↓
↑
64.67 m
↓
N 77.783285°
W 29.586181°		 ← 64.62 m →
4 178 m²		 N 77.783285°
W 29.583435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417819976806641 y=0.144321441650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417819976806641 × 217)
    floor (0.417819976806641 × 131072)
    floor (54764.5)     		tx = 54764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144321441650391 × 217)
    floor (0.144321441650391 × 131072)
    floor (18916.5)     		ty = 18916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54764 / 18916 ti = "17/54764/18916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54764/18916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54764 ÷ 217
    54764 ÷ 131072     		x = 0.417816162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18916 ÷ 217
    18916 ÷ 131072     		y = 0.144317626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417816162109375 × 2 - 1) × π
    -0.16436767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51637628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144317626953125 × 2 - 1) × π
    0.71136474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23481826028702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51637628} λ = -0.51637628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23481826028702))-π/2
    2×atan(9.34478337961206)-π/2
    2×1.46419044680761-π/2
    2.92838089361521-1.57079632675     		φ = 1.35758457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51637628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.586181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35758457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.783866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54764 KachelY 18916 -0.51637628 1.35758457 -29.586181 77.783866
    Oben rechts KachelX + 1 54765 KachelY 18916 -0.51632835 1.35758457 -29.583435 77.783866
    Unten links KachelX 54764 KachelY + 1 18917 -0.51637628 1.35757442 -29.586181 77.783285
    Unten rechts KachelX + 1 54765 KachelY + 1 18917 -0.51632835 1.35757442 -29.583435 77.783285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35758457-1.35757442) × R
    1.01500000000421e-05 × 6371000     		dl = 64.665650000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35758457-1.35757442) × R
    1.01500000000421e-05 × 6371000     		dr = 64.665650000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51637628--0.51632835) × cos(1.35758457) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.21160001671085 × 6371000     		do = 64.6146106508986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51637628--0.51632835) × cos(1.35757442) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.211609936866892 × 6371000     		du = 64.6176398898857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35758457)-sin(1.35757442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21160001671085-0.211609936866892)×R²
    abs(-0.51632835--0.51637628)×9.92015604242558e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.92015604242558e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.92015604242558e-06×40589641000000     		ar = 4178.44374115464m²