Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54763 / 18855
↖ ↑ ↗
← N 77.819267°
W 29.588928°		 ← 64.44 m → N 77.819267°
W 29.586181°		 →
↑
64.41 m
↓
↑
64.41 m
↓
N 77.818688°
W 29.588928°		 ← 64.45 m →
4 151 m²		 N 77.818688°
W 29.586181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417812347412109 y=0.143856048583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417812347412109 × 217)
    floor (0.417812347412109 × 131072)
    floor (54763.5)     		tx = 54763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143856048583984 × 217)
    floor (0.143856048583984 × 131072)
    floor (18855.5)     		ty = 18855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54763 / 18855 ti = "17/54763/18855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54763/18855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54763 ÷ 217
    54763 ÷ 131072     		x = 0.417808532714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18855 ÷ 217
    18855 ÷ 131072     		y = 0.143852233886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417808532714844 × 2 - 1) × π
    -0.164382934570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.51642422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143852233886719 × 2 - 1) × π
    0.712295532226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.23774241116384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51642422} λ = -0.51642422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23774241116384))-π/2
    2×atan(9.37214892712069)-π/2
    2×1.46449938031306-π/2
    2.92899876062613-1.57079632675     		φ = 1.35820243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51642422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.588928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35820243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.819267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54763 KachelY 18855 -0.51642422 1.35820243 -29.588928 77.819267
    Oben rechts KachelX + 1 54764 KachelY 18855 -0.51637628 1.35820243 -29.586181 77.819267
    Unten links KachelX 54763 KachelY + 1 18856 -0.51642422 1.35819232 -29.588928 77.818688
    Unten rechts KachelX + 1 54764 KachelY + 1 18856 -0.51637628 1.35819232 -29.586181 77.818688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35820243-1.35819232) × R
    1.01100000000631e-05 × 6371000     		dl = 64.4108100004022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35820243-1.35819232) × R
    1.01100000000631e-05 × 6371000     		dr = 64.4108100004022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51642422--0.51637628) × cos(1.35820243) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210996106966224 × 6371000     		do = 64.4436421072357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51642422--0.51637628) × cos(1.35819232) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211005989348016 × 6371000     		du = 64.4466604410075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35820243)-sin(1.35819232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210996106966224-0.211005989348016)×R²
    abs(-0.51637628--0.51642422)×9.88238179214229e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.88238179214229e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.88238179214229e-06×40589641000000     		ar = 4150.96439407132m²