Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54762 / 13697
↖ ↑ ↗
← N 80.473611°
W 29.591675°		 ← 50.55 m → N 80.473611°
W 29.588928°		 →
↑
50.52 m
↓
↑
50.52 m
↓
N 80.473156°
W 29.591675°		 ← 50.55 m →
2 554 m²		 N 80.473156°
W 29.588928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417804718017578 y=0.104503631591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417804718017578 × 217)
    floor (0.417804718017578 × 131072)
    floor (54762.5)     		tx = 54762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104503631591797 × 217)
    floor (0.104503631591797 × 131072)
    floor (13697.5)     		ty = 13697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54762 / 13697 ti = "17/54762/13697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54762/13697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54762 ÷ 217
    54762 ÷ 131072     		x = 0.417800903320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13697 ÷ 217
    13697 ÷ 131072     		y = 0.104499816894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417800903320312 × 2 - 1) × π
    -0.164398193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51647216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104499816894531 × 2 - 1) × π
    0.791000366210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.48500093940409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51647216} λ = -0.51647216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48500093940409))-π/2
    2×atan(12.001131528738)-π/2
    2×1.48766289782223-π/2
    2.97532579564446-1.57079632675     		φ = 1.40452947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51647216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.591675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40452947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.473611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54762 KachelY 13697 -0.51647216 1.40452947 -29.591675 80.473611
    Oben rechts KachelX + 1 54763 KachelY 13697 -0.51642422 1.40452947 -29.588928 80.473611
    Unten links KachelX 54762 KachelY + 1 13698 -0.51647216 1.40452154 -29.591675 80.473156
    Unten rechts KachelX + 1 54763 KachelY + 1 13698 -0.51642422 1.40452154 -29.588928 80.473156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40452947-1.40452154) × R
    7.92999999998933e-06 × 6371000     		dl = 50.5220299999321m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40452947-1.40452154) × R
    7.92999999998933e-06 × 6371000     		dr = 50.5220299999321m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51647216--0.51642422) × cos(1.40452947) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165501849645884 × 6371000     		do = 50.5485248994297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51647216--0.51642422) × cos(1.40452154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165509670281854 × 6371000     		du = 50.5509135229581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40452947)-sin(1.40452154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165501849645884-0.165509670281854)×R²
    abs(-0.51642422--0.51647216)×7.82063596979632e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.82063596979632e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.82063596979632e-06×40589641000000     		ar = 2553.87443061581m²