Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54761 / 18869
↖ ↑ ↗
← N 77.811151°
W 29.594421°		 ← 64.47 m → N 77.811151°
W 29.591675°		 →
↑
64.47 m
↓
↑
64.47 m
↓
N 77.810571°
W 29.594421°		 ← 64.48 m →
4 157 m²		 N 77.810571°
W 29.591675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417797088623047 y=0.143962860107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417797088623047 × 217)
    floor (0.417797088623047 × 131072)
    floor (54761.5)     		tx = 54761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143962860107422 × 217)
    floor (0.143962860107422 × 131072)
    floor (18869.5)     		ty = 18869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54761 / 18869 ti = "17/54761/18869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54761/18869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54761 ÷ 217
    54761 ÷ 131072     		x = 0.417793273925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18869 ÷ 217
    18869 ÷ 131072     		y = 0.143959045410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417793273925781 × 2 - 1) × π
    -0.164413452148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.51652009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143959045410156 × 2 - 1) × π
    0.712081909179688 × 3.1415926535     		Φ = 2.23707129456916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51652009} λ = -0.51652009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23707129456916))-π/2
    2×atan(9.36586123257196)-π/2
    2×1.46442855559192-π/2
    2.92885711118383-1.57079632675     		φ = 1.35806078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51652009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.594421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35806078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.811151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54761 KachelY 18869 -0.51652009 1.35806078 -29.594421 77.811151
    Oben rechts KachelX + 1 54762 KachelY 18869 -0.51647216 1.35806078 -29.591675 77.811151
    Unten links KachelX 54761 KachelY + 1 18870 -0.51652009 1.35805066 -29.594421 77.810571
    Unten rechts KachelX + 1 54762 KachelY + 1 18870 -0.51647216 1.35805066 -29.591675 77.810571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35806078-1.35805066) × R
    1.01200000000023e-05 × 6371000     		dl = 64.474520000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35806078-1.35805066) × R
    1.01200000000023e-05 × 6371000     		dr = 64.474520000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51652009--0.51647216) × cos(1.35806078) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.211134565868586 × 6371000     		do = 64.4724796368397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51652009--0.51647216) × cos(1.35805066) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.211144457722657 × 6371000     		du = 64.4755002334792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35806078)-sin(1.35805066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211134565868586-0.211144457722657)×R²
    abs(-0.51647216--0.51652009)×9.8918540709092e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.8918540709092e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.8918540709092e-06×40589641000000     		ar = 4156.92955348641m²