Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54759 / 42665
↖ ↑ ↗
← N 53.052771°
W 29.599915°		 ← 183.59 m → N 53.052771°
W 29.597168°		 →
↑
183.55 m
↓
↑
183.55 m
↓
N 53.051120°
W 29.599915°		 ← 183.59 m →
33 697 m²		 N 53.051120°
W 29.597168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417781829833984 y=0.325511932373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417781829833984 × 217)
    floor (0.417781829833984 × 131072)
    floor (54759.5)     		tx = 54759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325511932373047 × 217)
    floor (0.325511932373047 × 131072)
    floor (42665.5)     		ty = 42665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54759 / 42665 ti = "17/54759/42665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54759/42665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54759 ÷ 217
    54759 ÷ 131072     		x = 0.417778015136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42665 ÷ 217
    42665 ÷ 131072     		y = 0.325508117675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417778015136719 × 2 - 1) × π
    -0.164443969726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.51661597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325508117675781 × 2 - 1) × π
    0.348983764648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.0963648312103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51661597} λ = -0.51661597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0963648312103))-π/2
    2×atan(2.99326519855128)-π/2
    2×1.24837092887448-π/2
    2.49674185774896-1.57079632675     		φ = 0.92594553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51661597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.599915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92594553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.052771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54759 KachelY 42665 -0.51661597 0.92594553 -29.599915 53.052771
    Oben rechts KachelX + 1 54760 KachelY 42665 -0.51656803 0.92594553 -29.597168 53.052771
    Unten links KachelX 54759 KachelY + 1 42666 -0.51661597 0.92591672 -29.599915 53.051120
    Unten rechts KachelX + 1 54760 KachelY + 1 42666 -0.51656803 0.92591672 -29.597168 53.051120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92594553-0.92591672) × R
    2.88099999999902e-05 × 6371000     		dl = 183.548509999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92594553-0.92591672) × R
    2.88099999999902e-05 × 6371000     		dr = 183.548509999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51661597--0.51656803) × cos(0.92594553) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.60107920357624 × 6371000     		do = 183.585060551188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51661597--0.51656803) × cos(0.92591672) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.601102227975091 × 6371000     		du = 183.592092795246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92594553)-sin(0.92591672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60107920357624-0.601102227975091)×R²
    abs(-0.51656803--0.51661597)×2.3024398851601e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3024398851601e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3024398851601e-05×40589641000000     		ar = 33697.4097035801m²