Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54758 / 42709
↖ ↑ ↗
← N 52.980069°
W 29.602661°		 ← 183.86 m → N 52.980069°
W 29.599915°		 →
↑
183.87 m
↓
↑
183.87 m
↓
N 52.978416°
W 29.602661°		 ← 183.86 m →
33 806 m²		 N 52.978416°
W 29.599915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417774200439453 y=0.325847625732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417774200439453 × 217)
    floor (0.417774200439453 × 131072)
    floor (54758.5)     		tx = 54758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325847625732422 × 217)
    floor (0.325847625732422 × 131072)
    floor (42709.5)     		ty = 42709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54758 / 42709 ti = "17/54758/42709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54758/42709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54758 ÷ 217
    54758 ÷ 131072     		x = 0.417770385742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42709 ÷ 217
    42709 ÷ 131072     		y = 0.325843811035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417770385742188 × 2 - 1) × π
    -0.164459228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51666390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325843811035156 × 2 - 1) × π
    0.348312377929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.09425560762702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51666390} λ = -0.51666390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09425560762702))-π/2
    2×atan(2.98695838657991)-π/2
    2×1.24773648925206-π/2
    2.49547297850412-1.57079632675     		φ = 0.92467665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51666390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.602661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92467665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.980069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54758 KachelY 42709 -0.51666390 0.92467665 -29.602661 52.980069
    Oben rechts KachelX + 1 54759 KachelY 42709 -0.51661597 0.92467665 -29.599915 52.980069
    Unten links KachelX 54758 KachelY + 1 42710 -0.51666390 0.92464779 -29.602661 52.978416
    Unten rechts KachelX + 1 54759 KachelY + 1 42710 -0.51661597 0.92464779 -29.599915 52.978416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92467665-0.92464779) × R
    2.88600000000194e-05 × 6371000     		dl = 183.867060000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92467665-0.92464779) × R
    2.88600000000194e-05 × 6371000     		dr = 183.867060000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51666390--0.51661597) × cos(0.92467665) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.602092794938918 × 6371000     		do = 183.856278110608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51666390--0.51661597) × cos(0.92464779) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.602115837265946 × 6371000     		du = 183.863314362366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92467665)-sin(0.92464779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602092794938918-0.602115837265946)×R²
    abs(-0.51661597--0.51666390)×2.30423270277669e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.30423270277669e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.30423270277669e-05×40589641000000     		ar = 33805.760188506m²