Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54758 / 12822
↖ ↑ ↗
← N 80.863237°
W 29.602661°		 ← 48.49 m → N 80.863237°
W 29.599915°		 →
↑
48.48 m
↓
↑
48.48 m
↓
N 80.862801°
W 29.602661°		 ← 48.49 m →
2 351 m²		 N 80.862801°
W 29.599915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417774200439453 y=0.0978279113769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417774200439453 × 217)
    floor (0.417774200439453 × 131072)
    floor (54758.5)     		tx = 54758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0978279113769531 × 217)
    floor (0.0978279113769531 × 131072)
    floor (12822.5)     		ty = 12822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54758 / 12822 ti = "17/54758/12822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54758/12822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54758 ÷ 217
    54758 ÷ 131072     		x = 0.417770385742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12822 ÷ 217
    12822 ÷ 131072     		y = 0.0978240966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417770385742188 × 2 - 1) × π
    -0.164459228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51666390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0978240966796875 × 2 - 1) × π
    0.804351806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.52694572657164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51666390} λ = -0.51666390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52694572657164))-π/2
    2×atan(12.5152227901071)-π/2
    2×1.49106303037709-π/2
    2.98212606075418-1.57079632675     		φ = 1.41132973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51666390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.602661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41132973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.863237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54758 KachelY 12822 -0.51666390 1.41132973 -29.602661 80.863237
    Oben rechts KachelX + 1 54759 KachelY 12822 -0.51661597 1.41132973 -29.599915 80.863237
    Unten links KachelX 54758 KachelY + 1 12823 -0.51666390 1.41132212 -29.602661 80.862801
    Unten rechts KachelX + 1 54759 KachelY + 1 12823 -0.51661597 1.41132212 -29.599915 80.862801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41132973-1.41132212) × R
    7.61000000015777e-06 × 6371000     		dl = 48.4833100010051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41132973-1.41132212) × R
    7.61000000015777e-06 × 6371000     		dr = 48.4833100010051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51666390--0.51661597) × cos(1.41132973) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.158791593777572 × 6371000     		do = 48.4889234227722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51666390--0.51661597) × cos(1.41132212) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.158799107218236 × 6371000     		du = 48.4912177422657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41132973)-sin(1.41132212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158791593777572-0.158799107218236)×R²
    abs(-0.51661597--0.51666390)×7.51344066401982e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.51344066401982e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.51344066401982e-06×40589641000000     		ar = 2350.9591240064m²