Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54757 / 18908
↖ ↑ ↗
← N 77.788515°
W 29.605408°		 ← 64.60 m → N 77.788515°
W 29.602661°		 →
↑
64.60 m
↓
↑
64.60 m
↓
N 77.787934°
W 29.605408°		 ← 64.61 m →
4 174 m²		 N 77.787934°
W 29.602661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417766571044922 y=0.144260406494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417766571044922 × 217)
    floor (0.417766571044922 × 131072)
    floor (54757.5)     		tx = 54757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144260406494141 × 217)
    floor (0.144260406494141 × 131072)
    floor (18908.5)     		ty = 18908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54757 / 18908 ti = "17/54757/18908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54757/18908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54757 ÷ 217
    54757 ÷ 131072     		x = 0.417762756347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18908 ÷ 217
    18908 ÷ 131072     		y = 0.144256591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417762756347656 × 2 - 1) × π
    -0.164474487304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.51671184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144256591796875 × 2 - 1) × π
    0.71148681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23520175548398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51671184} λ = -0.51671184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23520175548398))-π/2
    2×atan(9.34836774640457)-π/2
    2×1.46423101300039-π/2
    2.92846202600078-1.57079632675     		φ = 1.35766570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51671184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.605408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35766570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.788515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54757 KachelY 18908 -0.51671184 1.35766570 -29.605408 77.788515
    Oben rechts KachelX + 1 54758 KachelY 18908 -0.51666390 1.35766570 -29.602661 77.788515
    Unten links KachelX 54757 KachelY + 1 18909 -0.51671184 1.35765556 -29.605408 77.787934
    Unten rechts KachelX + 1 54758 KachelY + 1 18909 -0.51666390 1.35765556 -29.602661 77.787934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35766570-1.35765556) × R
    1.01400000001028e-05 × 6371000     		dl = 64.6019400006552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35766570-1.35765556) × R
    1.01400000001028e-05 × 6371000     		dr = 64.6019400006552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51671184--0.51666390) × cos(1.35766570) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.211520723093959 × 6371000     		do = 64.6038733764147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51671184--0.51666390) × cos(1.35765556) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.211530633650505 × 6371000     		du = 64.6069003154817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35766570)-sin(1.35765556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211520723093959-0.211530633650505)×R²
    abs(-0.51666390--0.51671184)×9.91055654642192e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.91055654642192e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.91055654642192e-06×40589641000000     		ar = 4173.63332480837m²