Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54757 / 11941
↖ ↑ ↗
← N 81.239568°
W 29.605408°		 ← 46.52 m → N 81.239568°
W 29.602661°		 →
↑
46.51 m
↓
↑
46.51 m
↓
N 81.239150°
W 29.605408°		 ← 46.52 m →
2 163 m²		 N 81.239150°
W 29.602661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417766571044922 y=0.0911064147949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417766571044922 × 217)
    floor (0.417766571044922 × 131072)
    floor (54757.5)     		tx = 54757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0911064147949219 × 217)
    floor (0.0911064147949219 × 131072)
    floor (11941.5)     		ty = 11941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54757 / 11941 ti = "17/54757/11941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54757/11941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54757 ÷ 217
    54757 ÷ 131072     		x = 0.417762756347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11941 ÷ 217
    11941 ÷ 131072     		y = 0.0911026000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417762756347656 × 2 - 1) × π
    -0.164474487304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.51671184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0911026000976562 × 2 - 1) × π
    0.817794799804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.56917813513691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51671184} λ = -0.51671184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56917813513691))-π/2
    2×atan(13.0550905104436)-π/2
    2×1.49434713785841-π/2
    2.98869427571682-1.57079632675     		φ = 1.41789795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51671184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.605408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41789795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.239568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54757 KachelY 11941 -0.51671184 1.41789795 -29.605408 81.239568
    Oben rechts KachelX + 1 54758 KachelY 11941 -0.51666390 1.41789795 -29.602661 81.239568
    Unten links KachelX 54757 KachelY + 1 11942 -0.51671184 1.41789065 -29.605408 81.239150
    Unten rechts KachelX + 1 54758 KachelY + 1 11942 -0.51666390 1.41789065 -29.602661 81.239150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41789795-1.41789065) × R
    7.30000000004338e-06 × 6371000     		dl = 46.5083000002764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41789795-1.41789065) × R
    7.30000000004338e-06 × 6371000     		dr = 46.5083000002764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51671184--0.51666390) × cos(1.41789795) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.152303331925256 × 6371000     		do = 46.5173578578142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51671184--0.51666390) × cos(1.41789065) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.152310546757919 × 6371000     		du = 46.5195614534192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41789795)-sin(1.41789065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152303331925256-0.152310546757919)×R²
    abs(-0.51666390--0.51671184)×7.21483266288847e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.21483266288847e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.21483266288847e-06×40589641000000     		ar = 2163.49447723052m²