Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54753 / 14878
↖ ↑ ↗
← N 79.921509°
W 29.616394°		 ← 53.45 m → N 79.921509°
W 29.613647°		 →
↑
53.45 m
↓
↑
53.45 m
↓
N 79.921029°
W 29.616394°		 ← 53.45 m →
2 857 m²		 N 79.921029°
W 29.613647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417736053466797 y=0.113513946533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417736053466797 × 217)
    floor (0.417736053466797 × 131072)
    floor (54753.5)     		tx = 54753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113513946533203 × 217)
    floor (0.113513946533203 × 131072)
    floor (14878.5)     		ty = 14878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54753 / 14878 ti = "17/54753/14878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54753/14878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54753 ÷ 217
    54753 ÷ 131072     		x = 0.417732238769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14878 ÷ 217
    14878 ÷ 131072     		y = 0.113510131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417732238769531 × 2 - 1) × π
    -0.164535522460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.51690359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113510131835938 × 2 - 1) × π
    0.772979736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.4283874609528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51690359} λ = -0.51690359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4283874609528))-π/2
    2×atan(11.3405801993294)-π/2
    2×1.48284490214062-π/2
    2.96568980428125-1.57079632675     		φ = 1.39489348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51690359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.616394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39489348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.921509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54753 KachelY 14878 -0.51690359 1.39489348 -29.616394 79.921509
    Oben rechts KachelX + 1 54754 KachelY 14878 -0.51685565 1.39489348 -29.613647 79.921509
    Unten links KachelX 54753 KachelY + 1 14879 -0.51690359 1.39488509 -29.616394 79.921029
    Unten rechts KachelX + 1 54754 KachelY + 1 14879 -0.51685565 1.39488509 -29.613647 79.921029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39489348-1.39488509) × R
    8.38999999985823e-06 × 6371000     		dl = 53.4526899990968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39489348-1.39488509) × R
    8.38999999985823e-06 × 6371000     		dr = 53.4526899990968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51690359--0.51685565) × cos(1.39489348) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174997123711731 × 6371000     		do = 53.448626007492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51690359--0.51685565) × cos(1.39488509) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175005384239017 × 6371000     		du = 53.4511489851511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39489348)-sin(1.39488509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174997123711731-0.175005384239017)×R²
    abs(-0.51685565--0.51690359)×8.26052728586379e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.26052728586379e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.26052728586379e-06×40589641000000     		ar = 2857.04026683335m²