Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54752 / 18912
↖ ↑ ↗
← N 77.786191°
W 29.619141°		 ← 64.62 m → N 77.786191°
W 29.616394°		 →
↑
64.60 m
↓
↑
64.60 m
↓
N 77.785610°
W 29.619141°		 ← 64.62 m →
4 174 m²		 N 77.785610°
W 29.616394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417728424072266 y=0.144290924072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417728424072266 × 217)
    floor (0.417728424072266 × 131072)
    floor (54752.5)     		tx = 54752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144290924072266 × 217)
    floor (0.144290924072266 × 131072)
    floor (18912.5)     		ty = 18912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54752 / 18912 ti = "17/54752/18912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54752/18912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54752 ÷ 217
    54752 ÷ 131072     		x = 0.417724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18912 ÷ 217
    18912 ÷ 131072     		y = 0.144287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417724609375 × 2 - 1) × π
    -0.16455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51695153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144287109375 × 2 - 1) × π
    0.71142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2350100078855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51695153} λ = -0.51695153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2350100078855))-π/2
    2×atan(9.34657539118488)-π/2
    2×1.4642107318046-π/2
    2.9284214636092-1.57079632675     		φ = 1.35762514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51695153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.619141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35762514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.786191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54752 KachelY 18912 -0.51695153 1.35762514 -29.619141 77.786191
    Oben rechts KachelX + 1 54753 KachelY 18912 -0.51690359 1.35762514 -29.616394 77.786191
    Unten links KachelX 54752 KachelY + 1 18913 -0.51695153 1.35761500 -29.619141 77.785610
    Unten rechts KachelX + 1 54753 KachelY + 1 18913 -0.51690359 1.35761500 -29.616394 77.785610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35762514-1.35761500) × R
    1.01399999998808e-05 × 6371000     		dl = 64.6019399992406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35762514-1.35761500) × R
    1.01399999998808e-05 × 6371000     		dr = 64.6019399992406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51695153--0.51690359) × cos(1.35762514) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.211560365189643 × 6371000     		do = 64.6159810928243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51695153--0.51690359) × cos(1.35761500) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.211570275659185 × 6371000     		du = 64.619008005318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35762514)-sin(1.35761500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211560365189643-0.211570275659185)×R²
    abs(-0.51690359--0.51695153)×9.91046954210151e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.91046954210151e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.91046954210151e-06×40589641000000     		ar = 4174.41550579601m²