Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54752 / 11937
↖ ↑ ↗
← N 81.241241°
W 29.619141°		 ← 46.51 m → N 81.241241°
W 29.616394°		 →
↑
46.51 m
↓
↑
46.51 m
↓
N 81.240823°
W 29.619141°		 ← 46.51 m →
2 163 m²		 N 81.240823°
W 29.616394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417728424072266 y=0.0910758972167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417728424072266 × 217)
    floor (0.417728424072266 × 131072)
    floor (54752.5)     		tx = 54752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0910758972167969 × 217)
    floor (0.0910758972167969 × 131072)
    floor (11937.5)     		ty = 11937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54752 / 11937 ti = "17/54752/11937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54752/11937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54752 ÷ 217
    54752 ÷ 131072     		x = 0.417724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11937 ÷ 217
    11937 ÷ 131072     		y = 0.0910720825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417724609375 × 2 - 1) × π
    -0.16455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51695153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0910720825195312 × 2 - 1) × π
    0.817855834960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.56936988273539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51695153} λ = -0.51695153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56936988273539))-π/2
    2×atan(13.0575940327114)-π/2
    2×1.49436173837406-π/2
    2.98872347674812-1.57079632675     		φ = 1.41792715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51695153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.619141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41792715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.241241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54752 KachelY 11937 -0.51695153 1.41792715 -29.619141 81.241241
    Oben rechts KachelX + 1 54753 KachelY 11937 -0.51690359 1.41792715 -29.616394 81.241241
    Unten links KachelX 54752 KachelY + 1 11938 -0.51695153 1.41791985 -29.619141 81.240823
    Unten rechts KachelX + 1 54753 KachelY + 1 11938 -0.51690359 1.41791985 -29.616394 81.240823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41792715-1.41791985) × R
    7.29999999982134e-06 × 6371000     		dl = 46.5082999988617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41792715-1.41791985) × R
    7.29999999982134e-06 × 6371000     		dr = 46.5082999988617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51695153--0.51690359) × cos(1.41792715) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.152274472513446 × 6371000     		do = 46.5085434506062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51695153--0.51690359) × cos(1.41791985) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.152281687378571 × 6371000     		du = 46.5107470561261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41792715)-sin(1.41791985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152274472513446-0.152281687378571)×R²
    abs(-0.51690359--0.51695153)×7.21486512531011e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.21486512531011e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.21486512531011e-06×40589641000000     		ar = 2163.08453414648m²